;-52 Severin Johansson. 



In dieser Gleichung ist z. B. (ïi,«?,) das feste Büschelzentrinn und (i'2,^2) ei« Punkt auf 

 der Kurve, rist die konstaute Cayley'sclie Masszalil desjenigen Grenzkreisbogens, der (tz-iji) 

 mit ($1 , iii) verbindet. 



Die Glechung (46) stellt ersichtlich eine Kurve zweiter Ordnung dar. Man sieht übrigens 

 unmittelbar dass sie der durch den Kalottenrand und die doppelt gezählte Polare des Punkts 

 (?,,)7i) festgelegten Schaar von Kurven zweiter Ordnung angehört. 



Übrigens kann bemerkt werden, dass die Polare selbst für r = Jc.^ hervortritt. Weitei' 



findet man, dass die Abbilder der aeqvidistanten Kurven durch '=^-5- + ^ karaktärisiert 

 sind. Das steht alles in Übereinstimmung mit unseren früheren Anschauungen. 



Projektive Begründung der Maasszahlen r und tv. 



29. Wir wollen jetzt zur Nummer 12 zurückkehren und von da aus die ganze folgende 

 Entwicklung gewissermassen in umgekehrter Ordnung noch einmal durchlaufen. Wir wollen 

 nämlich, indem wir uns nur auf die Abbildung der Ebene auf die Grenzkugel beziehen, durch 

 Hinzuziehung projektiver Anschauungen die Cayley'sche Maassbestimmung einführen und von 

 da aus die ganze oben durchgelaufene Überlegung neu begründen. 



Weil die Geometrie auf der Grenzkugel euklidisch ist, können wir frei mit den Begriffen 

 der Euklid'schen Geometrie auf der Grenzkugel operieren. Insbesondere fassen wir jetzt die 

 KoUineationen ins Auge, die dann genau so wie in der Euklid'schen Ebene definiert werden, 

 wobei die Rolle der Geraden von den Grenzkreisen übernommen wird. 



Unter den KoUineationen giebt es dann insbesondere solche, die das Innere der Kalotte 

 in sich überführen. Diese bilden ersichtlich eine Gruppe r. 



Die formale Übereinstimmung mit der Euklid'schen Ebene wird vollständig, falls wir die 

 Koordinaten ? und «? benützen. Die Mannigfaltigkeit der KoUineationen deckt sich dann mit 

 der Mannigfaltigkeit der linearen Substitutionen 



, ^ «2 1 + ü>2 ? + Cj 



und die Gruppe /' besteht ersichtlich aus denjenigen Substitutionen dieser Form, die die Kurve 



^2 + f = ki 



in sich überführen. 



Dies vorausgesetzt, stellen wir uns die Aufgabe zu zeigen, dass die Onippe aller Bewe- 

 gungen und Umlegungen in der Ebene und die Gruppe f auf der Qrenzkugel durch Projektion 

 aus einander hervorgehen. Da, wie wir unmittelbar sehen, jede Bewegung oder ümlegung zu 

 einer Substitution in /' Anlass giebt, erübrigt nur noch das umgekehrte zu zeigen. 



Durch Projektion entsteht in der Ebene aus der Gruppe F ersichtlich eine Gruppe 

 von affinen KoUineationen. Wir werden die hiermit definierte Gruppe 6' näher untersuchen. 



Tom. XL VI. 



