Zur Theorie der LobatscheffsMj' sehen Geometrie. 33 



Wir beobachten dabei sogleich, dass ein ürenzkreisbüschel, dessen Zentrum innerhalb 

 der Kalotte, auf dem Kalottenrand oder ausserhalb der Kalotte liegt, in ein ebensolches Bü- 

 schel durch Vermittelung einer Substitution in r übergeht. Dies besagt, dass die Büschel 

 der Ebene durch eine Kollineation der Gruppe G in Büschel derselben Art übergehen. 



Liegt besonders ein Büschel dritter Art vor, so ist das Abbild der Büschelpolare auf 

 der Grenzkugel die Polare des Zentrums des daselbst entstandenen Grenzkreisbüschels in 

 Bezug auf den Kalottenrand. Da; nun bei jeder Substitution aus r Pol und Polare in Bezug 

 auf den Kalottenrand wiederum Pol uud Polare werden, so sehen- wir also, dass die Büschel 

 dritter Art in der Ebene durch G so auf Büschel derselben Art übertragen werden, dass die 

 Büschelpolare des gegebenen Büschels in die Polare des transformierten Büschels übergeht. 

 Dieses Resultat können wir auch folgendermassen aussagen. 



Die Gruppe G führt einen rechten Winkel in einen rechten Winhel über. 



30. Jede Substitution in F lässt einen bestimmten Punkt und seine Polare in Bezug 



auf den Kalottenrand fest. Schneidet dabei die Polare den Kalottenrand, kann die Kollineation 



die beiden Seiten der Polare vertauschen und wird dann uneigentlich genannt. Sonst nennen 



wir sie immer eigentlich. Die Niveaukurven der eigentlichen Sul)stitution sind ersichtlich 



die Grenzkreise desjenigen Büschels, dessen Zentrum in dem festen Punkt liegt. 



Es giebt nun weiter zu jeder eigentlichen Substitution in F eine Schaar von Bahnkur- 

 ven. Die Bahnkurven bilden dabei die durch den Kalottenrand und die doppolt gezählte fest- 

 bleibende Polare festgelegte Schaar von Kurven zweiter Ordnung, also gerau diejenige Kur- 

 venschaar, die in der vorigen Abteilung erwähnt wurde. Dabei rauss als besonders wichtig 

 für unsere Zwecke hervorgehoben werden, dass alle Kurven der Schaar, die innerhalb der 

 Kalotte liegen, denjenigen Grenzkreis, der O mit dem festen Punkt verbindet, senkrecht schnei- 

 den. Es sind somit der durch diesen Schnittpunkt gehende Grenzkreis des Büschels und der 

 die Bahnkurve berührende Grenzkreis harmonische Polaren in Bezug auf den Kalottenrand. 



Nun ist zu beachten, dass der feste Punkt auf der Grenzkugel eine stetige Schaar von 

 eigentlichen Substitutionen in F festlegt, die dieselben Niveau- und Bahnkurven haben. Es 

 kann somit jede beliebige Niveaukurve mit jeder anderen zur Deckung gebracht werden durch 

 eine dieser Substitutionen in F. Insbesondere kann die durch gehende Niveaukurve mit 

 jeder beliebigen zur Deckung gebracht werden. Wir können somit den Satz aussprechen. 



Die Bahnkurve schneidet jeden Grenzkreis des Büschels so, dass dieser und der berührende 

 Grcnzhreis harmonische Polaren sind. 



Jenachdem der feste Punkt innerhalb der Kalotte, auf dem Rand oder ausserhalb liegt, 

 liekommen wir drei verschiedene Arten von eigentlichen Substitutionen in F. die wir dann 

 wieder Substitutionen erster, zweiter und dritter Art nennen. 



Falls wir nunmehr auf die Ebene projizieren, so entsteht aus der eigentlichen Substitu- 

 tion in F eine eigentliche Substitution in G, der wir dieselbe Art zuteilen. Aus den Ni- 

 veau- und Bahnkurven der Substitution in F entstehen die entsprechenden Kurven der Sub- 

 stitution in G. Insbesondere sehen wir sogleich, dass die Niveaukurven ein Strahlenbüschel 

 bilden, dessen Art mit der Art der Substitution zusammenfällt. Bei der Sulistitution dritter 



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