34 Severin Johanskon. 



Art geht die Büschelpolare aus der festbleibenden Polare auf der Grenzkugel hervor und wird 

 also bei der entsprechenden Substitution in sich verschoben. 



Was nun die Bahnkurven betrifft, so gehen sie aus den Bahnkurven auf der Grenzkugel 

 durch Projektion hervor. Da harmonische Polaren bei der Projektion in auf einander senk- 

 rechte Geraden übergehen, können wir aus unserem obigen Satz schliessen, dass die Bahn- 

 kurven in der Ebene das Strahlenbüschel der Niveaukurven ortogonal schneiden und also 

 Zykeln sind. 



Zusammenfassend können wir den Satz aussprechen: 



Zu jeder eigentlichen Substitution in G gehört ein Strahlenbüschel in der Ebene, dessen 

 Strahlen Niveaukiirven der Substitution sind. Die Zykeln des Strahlenbüschels sind Bahnkurven 

 der Substitution. Umgekehrt gehören zu jedem Büschel in der Ebene unendlich viele eigentliche 

 Substitutionen in O. 



31. Hiermit sind wir nun soweit gekommen, dass wir zeigen können, dass jede eigent- 

 liche Substitution in O eine Bewegung ist. 



Wir bemerken dann zuerst, dass nach der obigen Entwickelung jede Strecke, die am 

 einem Büschelstrahl liegt, bei einer zugehörigen Substitution ihre Länge behält. Sowohl die 

 gegebene Strecke als ihr Abbild messen nämhch dabei den Abstand zwischen zwei Zykeln 

 desselben Büschels. 



Es giebt aber eine andere Art von Strecken, deren Invarianz unmittelbar hervorgeht 

 Haben wir nämlich zwei zum selben Büschel gehörenden Zykeln, und ziehen eine Sehne der 

 einen, die die andere berührt, so sind alle diese Sehnen gleich. Hieraus folgt, dass jede von ei- 

 nem Büschelstrahl senkrecht auslaufende Strecke ihre Länge behält bei den zum Büschel ge- 

 hörenden Substitutionen. Dies gilt noch, wenn die Strecke bei einer Substitution dritter Art 

 auf der Büschelpolare liegt. Es kann nämlich eine derartige Strecke AB aufgefasst werden 

 als Ortogonalprojektion einer Strecke ^o-^o» die senkrecht auf dem durch iî gehenden Büschel- 

 strahl steht. - Das dreirechtwinklige Viereck ABB^^Af, geht in das ebenfalls dreirechtwinklige 

 Viereck A'BB^'A^' über. Dabei ist A„B^ = A,,'B^', AA„' = A'Ao' und BB^^B'Ba' und in- 

 folgedessen A5 = A'^'. 



Ist nun AB eine ganz beliebige Strecke so legen wir durch A und B Büschelstrahlen 

 der betrachteten Substitution. Fallen dann diese Strahlen zusammen,, so liegt AB auf einem 

 Büschelstrahl und behält seine Länge. Steht die Strecke AB senkreht auf dem einen Strahl, 

 so behält sie auch ihre Länge. Trifft keine dieser Möglichkeiten zu, so projizieren wir AB 

 auf den einen Strahl und bekommen das rechtwinklige Dreieck ABC. Dieses geht in das 

 ebenfalls rechtwinkhge Dreiek A'B'C über, wo nach dem eben Gesagten AC = A'C' und BC = 

 B'C. Es ist also AB = A'B'. 



Hiermit haben wir also die Invarianz der Maasszahl r gegenüber jeder eigentlichen Sub- 

 stitution in G nachgewiesen. Hiermit ist dann auch die Invarianz der Maasszahl w sicher- 

 gestellt, wie aus den Sätzen über kongruente Dreiecke geschlossen werden kann. Die eigent- 

 liche Substitution in G ist somit eine Bewegung {Drehung). 



Wii- betrachten nun schliesslich, wenn der festbleibende Punkt asserlialb der Kalotte 

 liegt, diejenige uneigontlicbi! KoJIinentinn, die wir kurz als eine Umklappung um die Polare 



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