Zur Theorie der Lobatscheffskij' sehen Geometrie. 85 



Ijezeiclineii können und die durcli die Polare eindeutig festgelegt ist. Bei der Projektion ent- 

 stellt aus der Polare eine Gerade in der Ebene. Der Umlegung der Ebene um diese Gerade 

 entspricht auf der Grenzkugel eine uneigentliche Kollineation, die dann ersichtlich mit der 

 genannten Umklappung identisch sein muss. Es geht somit jede Umklappung in 1' in eine 

 Umlegiuig in der Ebene über. 



Hiermit ist dann gezeigt, dass die Gruppe G aus lauter Bewegungen und Umlegungen 

 zusammengesetzt ist. Folglich ist auch bewiesen, dass die Gruppe r und die Gruppe aller 

 Bewegungen und Umlegungen aus einander durch Projektion hervorgehen; die Gruppe (ir fällt 

 mit der letzteren Gruppe zusammen. 



32. Die obigen Entwickelungen zeigen, dass die Grössen *■ und /l stetige, ein-eindeutige 

 Funktionen von einander sind. Speziell geht die Ein-eindeutigkeit aus der Tatsache hervor, 

 dass jedesmal, wo die eine Grösse in sich übergeht, dasselbe mit der anderen stattfindet. 



Sind nun drei Punkte A, B, C auf derselben Geraden der Ebene und ihre Abbilder 

 A, B, C auf der Grenzkugel gegeben und setzen wir AB = r,, BC — Vi, AC=/-,2 und bezeich- 

 nen die entsprechenden Werte von / mit A,, X.^ und /,2, so ist, falls B zwischen A und C Hegt 



Auf der Grenzkugel ist dabei nach einer bekannten Eigenschaft des Doppelverliältiiisses 



Hieraus folgt dann in bekannter Wei.se dass 



(47) r = C\ogX, 



wo C eine noch zu bestimmende Konstante ist. 



In genau gleicher Weise folgt, dass die reellen Grössen 



w und ■- logfi 



ebenfalls nur durch einen konstanten Faktor sich unterscheiden und dass also 



C" 



(48) w = ^ log ;". 



Hierbei ist beidemal der Hauptwert des Logarit.raus genommen. 



Hiermit sind wir durch unsere neuen Entwickelungen wiederum zu der Cayley'schen 

 Maassbestimmung gekommen. Dabei haben wir ersichtlich einen Weg eingeschlagen, der den 

 wahren Charaktär der hier auftretenden Beziehungen besser ins Licht bringt. 



Die Konstanten C und C hängen natürlich von den Maasseinheiten ab, die wir in der 

 Ebene einführen. Falls wir die Einheit festlegen, so wird dadurch die zugehörige Konstante 

 bestimmt. 



Wählen wir nun insbesondere die Winkeleinheit so, dass der Vollwinkel die Maasszahl 

 2 sr erhält, so kann C durch eine einfache Bemerkung ausgewertet werden. Wir wissen näm- 



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