36 Severin Johansson. 



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 harmonische Polaren auf der Grenzkiigel übergehen. Es sind also w= und/i = — 1 ent- 



^ -2 



lieh, wie wir öfters hervorgehoben haben, dass zwei senkrechte Ueraden in der Ebene in zwei 



harmonische Polaren auf der Grenzki 

 sprechende Werte, woraus folgt, dass 



oder also 



(49) w = 2 . log il. 



Die Festlegung der Längeneinheit wollen wir fortan so durchführen, dass die Maasszahl 

 des Kalottenradius, längs der Grenzkugel gemessen, gleich ä: ist. Das führt natürlich zu einer 

 Bestimmung von C, wie wir auch bald sehen werden. Vorläufig wollen wir aber zeigen, dass 

 die Gleichung (47) die Frage nach dem analytischen Ausdruck des Parallelwinkels /Z(a;) er- 

 ledigt. 



33. Wir hatten in Nr. 11 bewiesen, dass ein Punkt A der Ebene, dessen Abstand vom 

 Anfangspunkt gleich x ist, auf einen Punkt A der Grenzkugel abgebildet wird, dessen ent- 

 sprechender Abstand § von auf der Grenzkugel aus der Formel 



(50) ? = /Ç;cos n{x) 

 berechnet wird. Hieraus folgt, dass 



Falls wir die Schnittpunkte des durch und A bestimmten Grenzkreises mit dem Ka- 

 lottenrand M und N nennen, wo die vier Punkte in der Reihenfolge M A N folgen, so ist 



ersichtlich die rechte Seite der letzten Gleichung gleich y, wo l das Doppelverhältniss der 



vier genannten Punkte bedeutet, und wir haben folglich 



tg^|//(x) = ]. 



Nach (47) ist aber 

 und es ist also 



/ = e" 



tg2|/Z(a;) = e '^ 



oder schhesslich 



(51) tg|//(a;) = e"^r. - 



et 



Dies ist die gewünschte analytische Beziehung für den Parallelwinkel II (a). 



34. Von hier aus lässt sich nunmehr die Bestimmung der Konstante C vollziehen. 



Tom. XLVl. 



