Ziir Theorie der Lobaixckeffskij' sehen Geometrie- 37 



Falls wir nämlich von aus *lie Senkreclite OÄ' auf den projizierenden Strahl AA zie- 

 hen und mit p l)ezeichnen, so ist OAA' ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse x, 



der Kathete p und dem von diesen eingeschlossenen Winkel n ~ ^^ (Pr Zeichnen wir dieses 



Dreieck in der Ebene, so dass die Spitze des genannten Winkels in liegt, und projizie- 

 ren auf die Grenzkugel, so erhalten wir ein ebenfalls rechtwinkliges Dreieck mit der Hypo- 



5t 



tiienuse Ä;cosi7(a;), der Kathete k cos, Fl (p) und dem Winkel ^ —Il{p). Es ist also 



fc cos -ö (^) ■ n , . 



oder 



A: eus II {x) = k cot ll(p), 



woraus folgt, dass 



(52) S = fc cot 11 {p). 



Mit Hilfe von (50) imd (52) lässt sicli nunmehr genau so wie in Nr. U die BesLimmung 

 von C in (51) durchführen. Es wird genau wie daselbst 



■J.C = k 

 oder 



n 



c = ^- 



Folglich haben wir für den Parallelwinkel ilie schliessliche Formel 



(53) tg|yy(x) = e-v 



oder genau dieselbe Formel wie früher gefunden. Hierbei ist. dann -die Längeneinheit so ge- 

 wählt, dass die Maasszahl des Radius des Kalottenrands gleich k ist. 



Hiermit haben wir auch den vollen Anschluss mit den Entwickelungen der früheren 

 Abschnitte hergestellt und können von jetzt an wieder alle früheren Resultate ableiten. Be- 

 sonders können wir die Trigonometrie der Ebene und auf Grund derselben dann überhaupt die 

 Trigonometrie der Sphären aufstellen. Es kann aber von Interesse sein zu sehen, dass wir 

 die in dieser Hinsicht grundlegende Trigonometrie der Ebene einfach von der Cayley'schen 

 Massbestimmung aus begründen können. Dabei wollen wir die Cayley'sche Maassbestimmung 

 wie, in Nr. 27 geschah, auf die ganze Grenzkugel ausdehnen und insbesondere die daliei ge- 

 fundene Formel (45) benützen. 



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