38 Severin Johansson. 



Neue Begründung der Trigonometrie der Ebene. 



35. Wir nehmen in der Ebene ein Dreieck, das von drei Geraden L,, L.^ und L^ ge- 

 bildet wird und bezeichnen den von L^ und L„ eingeschlossenen Winkel mit «j„. Die gegen- 

 überliegende Seite bezeichnen wir mit üq^. 



Wir führen weiter in Anschluss an Nr. 26 folgende Bezeichnungen auf der Grenzkugel ein 



WO wir mit m^, v^ die Linienkoordinaten des Grenzkreis Lj, bezeichnen, die das Abbild von 

 Lp ist. Es ist offenbar ^l'ea=^l'aQ- 

 Dann ist nach (44) 



C0Sß],i = 



und also 



(54) «'"'«n=-S^^/^- 



Das Abbild der dem Winkel «,2 gegenüberliegenden Seite a^ liegt auf dem Grenzkreis 

 L3. Wir ziehen von ihren Endpunkten die Grenzkreise nach dem Pol P3 von L3 und führen 

 bei dem Fol den Wert «',2 von w ein. Dann ist nach (45) 



a2 'hl = n.n«2 . 



Ici 



COS'' ^ = 008" «12 



und also 



9 '^12 • •> 



(55) sui^ ^- = sm'' «',2 . 



Von den eben eingeführten Grenzkreisen, die von den Endpunkten des Abbildes von ai2 

 nach P3, führen, geht der eine also durch P3 und den Schnittpunkt zwischen den Grenzkrei- 

 sen (1*3 v-i) und (m, Vi), während der andere P3 mit dem Schnittpunkt zwischen («3 ^3) und 

 (U2V2) verbindet. Wir bezeichnen ihre Linienkoordinaten bezw. mit Ui Vi und tt2'«2' und 

 setzen 



(//'j, = Ä;2 {ug' u/ + ?;/ v„') - ! . 



Dann ist ebenfalls nach (44) genau so wie oben 



(5ö) ^m^a\, = -^^jfy^-^. 



Die Koordinaten ?t,' «i' und 1*2' '^2' lassen sich aber leicht durch die Koordinaten von L, , 

 L2 und L3 ausdrücken. Weil nämhch der Grenzkreis it.'fi' dem von th Ui und ihv-i definir- 

 ten Büschel angehört, ist 



, Ml + ^3' M3 



""' ~ 1 + ^3' 

 (57) ^ , , 



, üi + h' V3 



^1 = 2 _^^/ ' Tom. XL VI. 



