4-Ö Severin Johansson. 



Hieraus folgt, dass 



(fO^ '/ y/y- '/'12 "^,,; „; ;,; '/>. '/>, '/^3 - U', tp,^ - '/^, l/Za , '.' - '1', t/^,,' + 2 ^23 ^'u ^' n '^ '/^^ - »^12^ 



oder also 



wo x^ bei Jeder zyklischen Verscliiebung der Indizes invariant bleilit. 

 Hiermit ist dann nach (54) und (56) auch bewiesen, dass 



und also nacii (55), dass 



sin* «,2' = "* sin" ff, 2 



• 0^12 •} • •> 

 sin* p- = »■' • sin- «12. 



Aus dieser letzten Gleichung folgt dann, dass 



Sin'' ,-.- : sm* Y . : sin* y-f = sm* «,, : sm* «23 : ^"i «31 • 

 let kl kl '■' " ■ •" 



Da nun sämtliche Winkel «,i. kleiner als sr sind und die links auftretenden sinus -Werte posi- 

 tive rein imaginäre Grössen sind, so kann weiter gefolgert werden, dass 



(64) %in ^ : sin '^^ sin ^^-^ 



kl kl kl 



Hiermit 'ist der Sinussatz bewiesen. 



Konforme Abbildung der Ebene auf die Grenzkugel. 



31. Die bisher nach vielen R'chtungen hin verfolgte, von den Strahlen des Bündels zwei- 

 ter Art besorgte Projektion der Ebene auf die Grenzkngel ist keine konforme Abbildung. Wir 

 können aber, wie wir unten zeigen, durch eine sehr einfache t^berlegung zu einer konformen 

 Abbildung gelangen. 



Wir nehmen deshalb zwei einander schneidende Geraden L, und L^ der Ebene und pro- 

 jizieren sie auf die Grenzkugel. Daselbst erhalten wir dann zwei innerhalb der Kalotte sich 

 schneidende Grenkreise I-i und L2. Wir bezeichnen den von L, und L-j. in der Ebene einge- 

 schlossenen Winkel mit «12 und die Linienkoordinaten von Li und Lj bezw. mit m, «, und 

 Vi v^. Dann ist nach (44), falls wir die Bezeichnung 1/^2 statt »/' anwenden, 



(65) cos «12 = '^'* 



Wir bezeichnen nunmehr die Ivoordinaten der Pole von (Mi ?^i) und 2/2^2) in Bezug auf 

 den Kalottenrand bezw. mit i', »/i und Sa V2 »"d ziehen auf der Grenzkugel die beiden Kreise 

 K, und K2, die diese Pole zu Mittelpunkte haben und durch die Schnittpunkte der zugehöri. 

 gen Polare mit dem Kalottenrand gehen. K, und K2 sind also die Ortogonalkreise des Ka- 



Tom. XL VI 



