^ur Theorie der LohatscheffsMj' sehen Geometrie. 41 



lottenrands, die durch die genannten Schnittpunkte gehen. Wir bezeichnen den Winkel der 

 Kreise Ki und K2 mit W12 und beabsichtigen zu zeigen, dass «12 = «12 ist. 



w,2 ist ersichthch der Winkel eines Grenzkreisdreiecks, wo das Qvadrat der gegenüberlie- 

 genden Seite gleich 



und die Qvadrate der beiden übrigen Seiten bezw. 



sind. Setzen wir 



V12 = ?i *'2 + VtV2 — ^^ 



so können wir die hieraus durch den cosinussatz erhaltene Gleichung für cos «,2 in die Form 



schreiben 



(66) cos ft)i2 = ~ß^= • 



Man erkennt leicht, dass die Ausdrücke links in (65) und (66) genau gleich sind. Es ist 



nämlich 



S, = — ä;'m,, ^^ = — k^Ui, 



^i = — ]c'^Vi, 72 = — ^^^2 j 



und infolgedessen 

 woraus folgt, dass 



y,2 = ^^'/'.2, (lh = k^>l'\, <l>, = Jc^'U2, 



fpi2 __ <^I2 



Hieraus folgt dann nach (65) und (66), dass 



(67) cos W12 = cos «12 . 



Wählen wir beidemal denjenigen Winkel, der nach gerichtet ist, so sind die Winkel gleich- 

 zeitig spitz oder stumpf und wir haben also 



(68) «12 = «12 q- e. d. 



Es kann übrigens vorbeigehend bemerkt werden, dass (»12 ersichtlich die Cayley'sche 

 Maasszahl der Verbindungslinie der Pole von Li und L2 bezeichnet. Wir sehen also, dass 

 zwischen der Cayley'schen Maasszahl des Winkels zweier Grenzkreise und der Cayley'scheri 

 Maasszahl des Abstands ihrer Pole die Beziehung (67) besteht. 



37. Wir kehren aber nach unserer obigen Entwickelung zurück. Wir haben gezeigt, 

 dass wir den Winkel zweier Geraden Lj und L.^ der Ebene auf der Grenzkugel wiederfinden. 

 Dieser Winkel ist nämlich genau gleich demjenigen Winkel w,2, den die Ortogonalkreise Ki 

 und K2 zu dem Kalottenrand mit den Polen der Abbilder Lj und Lo von L, und L^, als Mit- 

 telpunkten mit einander einschliessen. Falls wir nunmehr das Innere der Kalotte auf sich 



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