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Severin Johansson. 



selbst so stetig abbilden, dass jeder Grenzkreis L in den zugehörigen Ortogonalkreis K des Ka- 

 lottenrands übergeht,, so wird das so entstandene Bild ersichtlich mit der Ebene konform. 



Dies wird nun in der Tat sehr einfach durchgeführt. 

 Wir betrachten die nebenstehende Figur, wo L der genannte 

 Grenzkreis und K der Ortogonalkreis ist. 

 Wir sehen unmittelbar, dass 



(69) 



Q'Q" = r' 



Fig. 12. 



Aus (69) und (70) folgt, dass 



ist. Da weiter 0, A', A, A" harmonisch sind, so sind auch ihre 

 Spiegelbilder in Bezug auf den Kalottenrand harmonisch. Da 

 aller das Bild von unendlich weit enfernt liegt, so liegt 



— in der Mitte zwischen —r und -.-, oder es ist 



(70) 



1 + A 



kg 



k + j/k^ - o2 



Bezeichnen wir nunmehr die Koordinaten von A mit ? tj und von A' mit $' «/', so erhal- 

 ten wir ersichtlich hieraus die Formeln 



?'=- 



kS 



(71) 



k + ]/k^ 



•p _ ^2 



kij 



k + j/k^ 



.t2 



Diese Formeln vermitteln dann die gewünschte stetige Abbildung des Inneren der Grenz - 

 kugelkalotte auf sich selbst, wobei jeder Grenzkreis L in den zugehörigen Ortogonalkreis K 

 übergeht und der Punkt A in A'. Hiermit haben wir auch die Aufgabe gelöst die Ebene 

 konform auf die Grenzkugelkalotte abzubilden. Falls wir die Werte von t" und «y durch x und 

 y eintragen, so lauten die zu dieser Abbildung gehörenden Formeln 



?' = 



k cos // (x) 



(72) 



V = 



1-f sin//(j-) 



k sin n jx) cos // jy) 

 l + sin//(r) ' 



wo r den radius vector des Punkts {x, y) bedeutet. 



38. Es ist nun von Interesse zu sehen, wie die verschiedenen Strahlenbüschel der Ebene 

 und ihre Zykeln sich transformieren bei der konformen Abbildung. 



Ein Strahlenbüschel der Ebene geht zuerst durch die Projektion in ein Grenzkreisbüschel 

 über. Es sei F das Büschelzentrum und p die Polare von P in Bezug auf den Kalottenrand. 



Tom. XLVI. 



