Zur Theorie der Lubaischeffskij' sehen Geometrie. 43 



])aiiii kann unmittelbar geschlossen wenlen, tlas.s das Grenzkreisbüschel durch die Abbil- 

 dung (71) in ein Büschel von Ortogonalkreisen zu dem Kalottenrand übergeht, deren Mittelpunkte 

 auf der Polare p liegen. Es liegt nämlich der Mittelpunkt jedes einzelnen Kreises K in dem 

 l'ul des zugehörigen Grenzkreises L. Wenn L das Grenzkreisbüschel durchwandert, ist der 

 Ort dieses Pols gerade die Polare p des Büschelzentrums. 



Dies besagt aber, dass das Grenzkreisbüschel in das eine Kreisbüschel derjenigen Stei- 

 ner'schen' Kreisschaar übergeht, die von dem Kalottenrand und der Polare p festgelegt wird, 

 und zwar in dasjenige Kreisbüschel, dem der Kalottenrand und die Polare nicht angehören. 



Das genannte Kreisbüschel stellt dann auch das Abbild des Geradenbüschels der Ebene 

 bei der konformen Abbildung dar. Weil die Abbildung konform ist, müssen dabei die Zykeln 

 des Geradenblischels in die ortogonalen Trajektorien des genannten Kreisbttschels oder also in 

 das andere Kreisbüschel derselben Steiner'schen Kreisschaar übergehen. 



Zusammenfassend können wir also den Satz aussprechen. 



Das System der Strahlen und Zijkeln eines Oeradenbüschels der Ebene geht bei der leonfor- 

 men Abbildung in die beiden Kreisbüschel derjenigen Steinerschen Kreisschaar über, die von dem 

 Kalottenrand und der Polare des Zentrums des zu dem Geradenbüschel gehörenden QrenzJcreis- 

 büschels festgelegt wird. Besonders gehen dann die Strahlen des Büschels in dasjenige der beiden 

 Kreisbüschel über, nelches den Kalottenrand Glicht enthält, ivährend die ZyJceln grade in dasjenige 

 Kreisbiischel übergehen, dem der Kalottenrand angehört. 



Wenn wir nun zu den drei verschiedenen Arten von Geradenbüscheln gehen, wollen wir 

 der Einfachheit halber dasjenige Kreisbüschel einer Steinerschen Kreisschaar, dessen Kreise 

 durch die Grundpunkte gehen, das elliptische Kreisbüschel nennen, während wir das andere 

 Kreisbüschel das hyperbolische nennen. 



Liegt nun erstens ein Geraden büschel erster Art in der Ebene vor, so liegt das Zentrum 

 des zugehörigen Grenzkreisbüschels auf der Grenzkugel innerhalb der Kalotte. Es liegt also 

 die Polare dieses Zentrums ganz ausserhalb der Kalotte und schneidet den Rand nicht. Der 

 Kalottenrand gehört also dem hyperbolischen Kreisbüschel der oben besprochenen Steinerschen 

 Kreisschaar an und wir haben folglich den Satz. 



Die Strahlen und Zykeln eines Geradenbüschels erster Art gehen bei der leonformen Abbil- 

 dung hezw. in das ellijAische und das hyperbolische Kreisbiischel der zugehörigen Steinerschen 

 Kreisschaar über. Die Grundpimkte der Schaar sind Spiegelbilder in Bezug auf den Kalot- 

 tenrand. 



Wenn das Geradenbüschel von der dritten Art ist, so liegt das Zentrum des zugehöri- 

 gen Grenzkreisbüschels ausserhalb der Kalotte. Es schneidet also seine Polare, die übrigens 

 nichts anders als das Abbild der Polare des Geradenbüschels ist, den Kalottenrand in zwei 

 Punkten. Folglich gehört der Kalottenrand dem elUptischen Kreisbüschel der oben besproche- 

 nen Steinerschen Kreisschaar an, deren Grundpunkte nun einfach die genannten Schnitt- 

 punkte sind. Wir können also folgenden Satz aussprechen. 



N:o 7. 



