Zur Tlicuiie der Lobatsche ffskij'schen Geometrie. 



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der komplexen Vei'ämlerliclien t' vermittelt wird. Es entspricht alwo jeder JJrehuug in der 

 Ebene bei der konformen Abbildung auf der Grenzkugel eine lineare .Substitution der kom- 

 plexen Veränderlichen C, die das Innere der Kalotte in sich überführt. 



Die zugehörige .Steiner'sche Kreisschaar stellt das System der Bahnkurven und iSiveau- 

 kurven der linearen Substitution dar. Insbesondere werden die Grundpunkte der Schaar Fix- 

 punkte der Substitution. 



Ist die Drehung eine Drehung eruier Art, d. h. gehört sie zu einem Geradenbüschel er- 

 ster Art der p]bene, so sind wie oben gezeigt wurde die Fixpunkte Spiegelbilder in Bezug 

 auf den Kalottenrand. Wir erkennen dann in der Substitution eine elliptische Substitution 

 Entsprechend sehen wir ein, dass die einer Drehung zweiter oder dritter Art entsprechende 

 lineare Substitution eine parabolische bezw. hyperbolische Snbstitution ist. 



Zusammenfassend sprechen wir den Satz aus. 



Den Drehungen in der Ebene entsprechen auf der Grenzkugcl durch die konforme Abbil- 

 dung lineare Substitutionen der komplexen Veränderlichen C = ^' + i f{, die das Innere der Ka- 

 lotte in sich überführen. Jenachdem die Drehung von der ersten, ziveiten oder dntten Art ist, 

 ist die zugehörige lineare Substitution eine elliptische, parabolische oder hyperbolische Substitution. 



Die linearen »Substitutionen bilden ersichtlich eine Gruppe, die wir I' nennen. 

 Offenbar entspricht einer Umlegung in der Ebene eine Spiegelung auf der Grenzkugel. 



4(1. Wir können nun auch die Masszahl r einer Strecke in der Ebene in einfache Be- 

 ziehung zu dem zugehörigen Abbild der Strecke im konformen Bild bringen. 



Wir sehen unmittelbar, dass in nebenstehender Figur, die zeigt, wie der Punkt A (§, »/) 

 in A' (?',»/') auf der Grenzkugel übergeführt wird, 



und 



Hieraus folgt, dass 



a-i 

 al 



a.r 



a{ «1 

 a-i a^" 



«2 Wl 



Fig. 13- 



Betrachten wir jetzt die nebenstehende Figur, die zeigt, wie durch die Abbildung (71) eine 

 Strecke AB auf dem Grenzkreis L in den Bogen A'B' übergeführt wird, so sehen wir nach dem 

 eben ijewiesenen unmittelbar ein, dass für die Sehnen folgende Gleichung gilt 



it» 



(ATU. B 'M V 

 U'N 'B'NJ 



wo A das früher besprochene Doppelverhältniss der vier Punkte M, B, A, N 



bedeutet. Setzen wir also 



„ A'M B'M 



so ist folglich 

 N:o 7. 



"A'N "B'N 



Fig. 14. 



