4(i Severin Johansson. 



und infolgedessen 



(73) ,- = ^'log>l = Z:log-l'. 



Hierniil li;iL dann uucli r eine einCaclie Bedeutung im tconfonnen Abijild der Ebene er- 

 halten. 



Dass die hiermit eingeführte Grösse A' tatsächlich eine Invariante der Gruppe f ist, 

 sieht man unmittelbar ein, denn i-' ist einfach das Doppelverhältniss derjenigen vier kom- 

 plexen Zahlenwerte, die nach der obigen Verabredung zu den vier Punkten M, B', A' und N 

 gehören. 



41. Übrigens kann in diesem Zusammenhang noch folgendes hervorgehoben werden. 

 Zwei beliebige Kreise mit den Radien r^ und r^ und der Zentrale e auf der Grenzkugel haben 

 gegenüber linearen Substitutionen eine Invariante j, nämlich den Ausdruck 



. _ e^ — rî^ — r.^ 



Sind nun insbesondere die Kreise Ortogonalkreise zu dem Kalottenrand und bezeichnen 

 wir ihre Mittelpunkte mit i'i »^i und ^2^2, so ist 



und also 



Bezeichnen wir jetzt die Linienkoordinaten der Polaren von Si «?, untl 'io rj.> mit h, t'i und 

 u^v.,, so haben wir ja früher (Vgl. Nr. 36) bewiesen, dass 



V'i2 _ 4' 



12 



und so ist also 



(74) j = 2cos(^i2, 



wo «12 die Cayley'sche Maasszahl ist, die von den Grenzkreisen «1 1', und 112 1'2 festgelegt winl. 

 Schneiden sich insbesondere die beiden Ortogonalkreise, so ist «,2 gleich dem Winkel der bei- 

 den Kreise. 



Falls wir die Cayley'sche Masszahl «,3 der beiden Grenzkreise auf die Ebene übertragen, 

 so gehört also zu jedem Strahlenpaar der Ebene insbesondere die Invariante cos «12 der 

 Gruppe aller Drehungen. Zwischen dieser Invariante und der bekannten Invariante j des 

 entsprechenden Kreispaars auf der Kalotte, die zur Gruppe F' gehört, besteht dann die Be- 

 ziehung (74). Schneiden sich die beiden Strahlen der Ebene, so schneidj;n sich die entsprechen- 

 den Kreise auf der Grenzkugel und es ist dann «i^ der gemeinsame Wert der beiden gleich 

 grossen Schnittwinkel. 



Tom. XLVl. 



