Zur Theorie der Lohatseheff'slcif sehen (ieomefrir. 47 



Die Koordinaten auf der Grenzkugel als Koordinaten in der Ebene. 

 Abbildung auf die Euklid'sche Ebene. 



42. Falls wir nunmehr zu unserer ursprünglichen Abbildung der Ebene auf die Grenz- 

 kugel zurückkehren, die dadurch hergestellt wurde, dass die Punkte {x, ij) der Ebene einfach 

 durch Projektion auf die Punkte (?, 17) der Grenzkugelkalotte übertragen wurden, so liegt dei- 

 Gedanke nahe die Koordinaten Ï und »/ auf der Grenzkugel durch die betreffende Projektion 

 über die Ebene auszubreiten. Wir bekommen dadurch in der Ebene {x, y) eine Art krummlini- 

 ger Koordinaten (Ï, «/), die durch die Formeln 



J = Ä-cos//(x) 



jy = Ä- sin // (x) cos // {y) 

 festgelegt werden. 



Wie wir oben gefunden haben, ist dann die Gleichung der Geraden in diesen neuen Ko- 

 ordinaten eine lineare Gleichung. Falls wir diese Gleichung in die Form 



us+iny-fl=0 



schreiben, so gehören u und v als Linienkoordinaten der Geraden an. 



Die unendlich fernen Punkte der Ebene werden in den neuen Koordinaten durch die 



Gleichung 



J2 + jji = i-2 



dargestellt. 



Die Drehungen und Umlegungen der Ebene werden in den heuen Koordinaten einfach als 

 diejenigen Transformationen von der Form 



g ^ «1 g + &i y + Cl 

 «3 ? + *3 «7 4- C3 



- ^ «2 g + &2 ? + g-i 



'' «3 g + ^3 »? + Ca 



auftreten, die das unendlich ferne oder absolute Gebilde g^ + »/'' = ^'^ in sich überführen. Da- 

 bei werden die Invarianten r und w identisch mit den Maasszahlen einer Cayley'schen Maass- 

 bestimmung, die auf dem absoluten Gebilde begründet wird, wie des näheren oben ausführ- 

 hch dargestellt wurde. 



Die Zykeln der Ebene werden in den neuen Koordinaten durch die Gleichung (46) dar- 

 gestellt. 



Falls wir nun auch die Koordinaten ?' und ij' durch die Formeln (71) als Koordinaten 

 in der Ebene einführen, so werden dadurch neue krummlinige Koordinaten über die Ebene aus- 

 gebreitet. In diesen Koordinaten werden dann auch die unendlich fernen Punkte durch die 



Gleichung 



|'2 + rf-i = k^ 

 dargestellt. 



Den Drehungen entsprechen in den neuen Koordinaten lineare Transformationen 



^ r^' + a 



N:o 7. 



