48 Severin Johansson. 



(1er komplexen Veränderlichen 



die das Innere von ^'^ + 7i"^ = Jc^ in sich überfuhren. 



Die Zykeln, zu denen wir dann auch die Gerade mitzählen, treten in den neuen Koordi- 

 naten als Kreise auf, wie oben ausführlich untersucht wurde. 



Schliesshch wollen wir noch hervorheben, dass das Bogenelement da der Ebene sich ein- 

 fach in den hiermit eingeiührten krummlinigen Koordinaten darstellen lässt. 



Ans der Formel (42) geht unmittelbar hervor, dass 





l2. 



M (Pi 0. 



2 



Falls wir nun mittels dieser Formel den Abstand do der Punkte (Ï, ij) und (S -\-d'§,tj + drj) 



da^ 

 berechnen, so wird links — y^ erhalten und das ganze Resultat wird nach einfacher Rech- 

 nung 



^.2 _ 1.2 (^-^ - 5^ - v' )id'P + dv^) + (§d-^ + fi dtiY 



Hieraus wird durch Einiührung von ?' und 7' nach der Formel (71) 



d'§"^ + dii'^ 



da^=T 



i^-'^^-')' 



Hiermit haben wir also das Linienelement der Ebene in den Koordinaten i" «y bezw. |' »/ f 

 berechnet. Insbesondere sehen wir aus der letzten Formel unmittelbar, dass die Beziehung 

 zwischen der Ebene und der Grenzkugel bei der Abbildung (72) eine konforme ist. 



43. Wir können nun schliesslich die hiermit eingeführten Koordinaten der Lobatscheff- 

 skij'schen Ebene als Cartesische Koordinaten in der Euklid'schen Ebene eintragen. Wir be- 

 kommen dadurch zwei bemerkenswerte Abbildungen zwischen den beiden Ebenen, wobei jedes 

 mal die Lobatscheffskij'sche Ebene auf das Innere eines Kreises mit dem Radius Je in der 

 Euklid'schen Ebene abgebildet wird. 



Falls wir nach unseren Entvvickelungen über die Abbildung auf die Grenzkugel zurück- 

 greifen, können wir unmittelbar schliessen, dass wenn wir die Koordinaten I und »? in der 

 Euklid'schen Ebene deuten, wir ein Abbild der Lobatscheffskij'schen Ebene erhalten, bei dem 

 die Geraden wieder in Geraden übergehen. Wenn wir dagegen t' und ^' in der Euklid'schen 

 Ebene absetzen, erhalten wir eine konforme Abbildung, wobei insbesondere die Geraden in 

 Ortogoiialkreise zu dem Kreis 'S'^ + 11"^ = k^ übergehen. Übrigens gilt natürhch bei diesen Ab- 

 bildungen alles, was wir bei den entsprechenden Abbildungen auf der Grenzkugelkalotte ent- 

 wickelt haben. Es ist nämlich das Innere des Kreises mit dem Radius k in der Euklid'schen 

 Ebene einfach mit der Kalotte kongruent. 



Es ist schliesslich besonders hervorzuheben, dass wir die hiermit gewonnenen Abbildungen 

 besonders einfach herstellen können. Es besteht, nämlich zwischen den durch die Anfangs- 

 Tom. XLVI. 



