Zur Theone der Lohaischeff'skij' sehen Geometrie. 49 



punkte der beiden Ebenen bestimmten Strahlenbüscheln eine Kongruenz, die z. B. dadurch 

 hergestellt werden kann, dass wir diejenigen Strahlen einander zuordnen, die denselben Win- 

 kel mit der Abszissenachse der zugehörigen Ebene bilden. Zwei Strahlen durch den Anfangs- 

 punkt der einen Ebene bilden dann ersichtlich denselben Winkel wie die entsprechenden Strah- 

 len der anderen Ebene. 



Falls wir mit r und ç die radii vectores in der Lobatscheffskij'schen bezw. Euklid'schen 

 Ebene bezeichnen und nun eine Abbildung zwischen den Punkten zweier entsprechender Strah- 

 len dadurch herstellen, dass wir zwischen ihren radii vectores die Gleichung 



(75) Q = k cos n{r) 



vorschreiben, so wird ersichtlich dadurch die ganze Lobatscheffskij'sche Ebene auf das Innere 

 des Kreises mit dem Radius fc in der Euklid'schen Ebene abgebildet. 



Liegt nun eine Gerade in der ersteren Ebene vor und bezeichnen wir mit r^ den Abstand 

 der Geraden von dem Anfangspunkt, mit r den radius vector eines beliebigen Punktes der 

 Geraden und mit (f den von r» und r eingeschlossenen Winkel, so ist in dem vonru, r und 

 der Geraden gebildeten rechtwinkhgen Dreieck 



7 rr / ^ ^ cos 77 (To) 



h cos 77 (r) = >-^ • 



cos ^ 



Hieraus folgt aber für das Abbild der Geraden in der Euklid'schen Ebene die Gleichung 



cos (f 



Dies ist aber die Gleichung einer Geraden, deren Abstand von dem Anfangspunkt gleich Qo 

 ist. Wir sehen also, dass eine Gerade der Lobatscheffskij'schen Ebene bei unserer Abbildung 

 wieder in eine Gerade in der Euklid'schen Ebene übergeführt wird. Insbesondere geht ein 

 rechter Winkel, dessen Schenkel durch den Anfangspunkt hindurchgeht, in einen rechten Win- 

 kel über. 



Führen wir jetzt die Koordinaten x, y und S, 7 der entsprechenden Punkte in den beiden 

 Ebenen ein, so sind nach dem eben bewiesenen ? und >? die Abbilder von x und y. Hieraus 

 folgt dann unmittelbar, dass 



I = ^ cos 77 {x). 

 Weiter ist 



und also 



f = ]ci (cos- II (r) - cos« 77 (x). 



Da aber in dem von r, x und y gebildeten rechtwinkligen Dreieck 



sin ZZ (r) = sin 77 (x) sin 77 {y) 



ist, so folgt, dass 



ij = lcsm n{x) cos 77 (?/). 



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