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In genau gleicher Weise können wir die zweite Abbildung herstellen, indem wir nämlich 

 ZjWischen den ratlii vectores der Punkte zweier entsprechender Strahlen die Beziehung 



(76) r'- ^«°^^W 



l + sini7(r) 



vorschreiben. Dabei gehen dann die Geraden in Ortogonalkreise zu dem Kreis mit dem Ra- 

 dius A über. 



Abbildung des Lobatscheffskij'schen Raums auf den Euklid'schen Raum. 



44. Es bietet nun keine Schwierigkeiten dar die zuletzt durchgeführten Anschauungen 

 auf den Raum zu übertragen. 



Um dies durchzutühren nehmen Wir in dem Lobatscheffskij 'sehen Raum drei auf einan- 

 der senkrechte, durch den Anfangspunkt gehende Geraden zu Achsen eines Koordinaten- 

 systems. Ein Punkt des Raums ist dabei durch drei Koordinaten x, y und z festgelegt, wo 

 z den Abstand des Punktes von der x «/-Ebene und y den Abstand der Projektion des 

 Punktes auf der x y-Ebene von der a;-Achse bedeuten, während x der Abstand auf der 

 a;-Achse von dem Anfangspunkt bis zu dem Fuaspunkt der «/-Koordinate auf der oj-Achse is^. 

 Den radius vector des Punktes {x, y, z) bezeichnen wir mit r. Den Winkel zwischen r und 

 und seiner Projektion r^^ in der a; «/-Ebene bezeichnen wir mit ß und den Winkel zwischen 

 r^y und der x-Achse mit «. 



In dem Euklid'schen Raum führen wir ebenfalls ein rechtwinkhges Koordinatensystem 

 ein und bezeichnen die Koordinaten eines Punktes mit I, <?, Ç. Der radius vector wird mit 

 Q bezeichnet und die oben genannten Winkel ebenfalls mit ß und «. 



Falls wir nun diejenigen Strahlen durch die Anfangspunkte der beiden Räume einander 

 zuordnen, die durch dieselben Werte von 8 und « festgelegt werden, so wird behauptet, dass 

 der Winkel zweier Strahlen des einen Raums gleich dem Winkel entsprechender Strahles den an- 

 deren Raums ist. 



Sind nänihch zwei Strahlen des Euklid'schen Raums durch «i ßi und «2 ß-i festgelegt und 

 ist o) der Winkel dieser Strahleuj so ist 



cos ta = sin ßi sin ß^ + cos ft cos /Sj cos («i — «a) 



Da aber in dera Lobatscheifskij'schen Raum genau dieselbe Formel der sphärischen Trigono- 

 metrie gilt, wie im Vorigen gezeigt ist, so folgt, dass wir daselbst genau denselben Winkel w 

 erhalten. Die Behauptung ist hiermit bewiesen. 



Nachdem dies festgelegt ist, führen wir eine Zuordnung der Punkte der beiden Räume 

 solcherweise durch, dass wir die Punkte zweier entsprechender Strahlen durch die Formel 



77) ç = /Ç:cos/7(»-) 



einander zuweisen. Wir bekommen dadurch ersichtlich eine Abbildung zwischen den Punkten 

 der beiden Räume, wobei der ganze Lobatscheffskij'sche Raum auf das Innere einer Kugel 

 mit dem Radius h in dem Euklid'.schen Raum abgebildet wird. 



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