Zur Theorie der LobatscheffsJcij' sehen Geometrie. 51 



Ersichtlich geht bei dieser Abbildung jede durch den Anfangspunkt gehende Ebene wieder 

 in eine Ebene über. Die Abbildung dieser Ebenen ist genau die erste der in Nr. 42 besprochenen 

 ebenen Abbildungen. Insbesondere folgt aus dieser Bemerkung, dass jede Gerade des Raums 

 wiederum in eine Gerade übergeht. 



Weiter können wir aus derselben Tatsache schliessen, dass jeder rechte Winkel, dessen 

 Schenkel durch den Anfanspunkt hindurchgeht ebenfalls in einen rechten Winkel übergeht. 

 Hieraus folgt dann, dass jede Ebene des Raums wiederum in eine Ebene übergeführt wird. 

 Selbstverständlich kommen in dem Euklid'schen Raum nur diejenigen Teile der Geraden und 

 der Ebenen in Betracht, die innerhalb der Kugel mit dem Radius Ic liegen; sie sind nämlich 

 schon die Abbilder der ganzen Geraden bezw. Ebenen des Lobatscheffskij 'sehen Raums. 



Dass eine Ebene in eine Ebene tibergeht, kann auch folgendermassen gezeigt werden. 

 Ist »0 der Abstand der Ebene von dem Anfangspunkt, r der radius vector eines beliebigen 

 Punktes der Ebene und tf der von ro und r eingeschlossene Winkel, so ist in dem von r, 

 und r gebildeten rechtwinkligen Dreieck 



Ic cos // (To) 



Hieraus folgt nach (77), dass 



fc cos n (r) : 



cos (^ 



?o 



cos ff 



Dies ist aber im Euklid'schen Raum die Gleichung einer Ebene, deren Abstand von 

 dem Anfangspunkt gleich Ço ist. 



45. Wir können nunmehr die dieser Abbildung entsprechenen Beziehungen zwischen 

 den Koordinaten x, y, z und S, »/, ? entsprechender Punkte der beiden Räume ableiten. 



Es ist dabei zu bemerken, dass nach den oben bewiesenden Sätzen die Strecken x, y 

 and ä bei der Abbildung in die Strecken Ï, rj und t übergehen. Hieraus folgt unmittelbar, 

 alls. wir nach der in der vorigen Abteilung besprochenen ebenen Abbildung zurückgreifen, dass 



i — h cos // {x) 



^ = Ä: sin /7 {x) cos // (y). 



Die durch /■ und r^^ bestinimte Ebene wird aber durch genau dieselbe ebene Abbildung 

 auf die von q und q^^^ bestimmte Ebene abgebildet und es ist infolgedessen 



g = fc sin 11 (1-^^) cos Tl{z). 



Da aber in dem von r^^, x und y gebildeten rechtwinkligen Dreieck 



sin 11 (r^^) = sin U (x) sin H (y), 

 so wird 



f = Ä: sin U (x) sin 77 (y) cos ZZ (s). 



Zusammenfassend erhalten wir also bei unserer Abbildung 



i = h cos /7 (x) 

 (78) 17 = fc sin 77 (x) cos 77 (y) 



£; = Ä; sin 77 (x) sin 77 (y) cos /7 {z). 



N:o 7. 



