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46. Von hier ans können wir die analytische Geometrie des Raums genau so entwickehi 

 wie wir im Vorigen die analytische Geometrie der Ebene behandelten. 



Nehmen wir insbesondere eine Ebene und bezeichnen ihren Abstand von dem Anfangs- 

 punkt mit p und die Winkel zwischen der Abstandhnie p und den Koordinatenachsen mit 

 a, ß und y, so ist das Abbild in dem Euklid'schen Raum ebenfalls eine Ebene, deren Abstand 

 von dem Anfangspunkt gleich ä;cosZ7(^) ist. Die Abstandhnie bildet dabei genau dieselben 

 Winkel «, ß und y mit den Koordinatenachsen. Da die Gleichung einer derartigen Ebene 



I cos « + «? cos ß + t cos y = Ä; cos Z7 {p) 



ist, so folgt nach (78), dass die Gleichung der Ebene in dem Lobatschetlskij'schen Raum lautet 



(79) cos II (x) cos K + sin 7/ (x) cos 77 (y) cos ß -\- sin 77 {x) sin 77 (y) cos 77 (z) cos y = cos 77 (p). 



47. Die Cayley'sche Maassbestimmung überträgt sich nun unmittelbar auf den Raum. 

 Wir setzen 



ÖJ =524- ^2 + p-Z;2 



und betrachten eine beliebige Strecke r des Lobatscheftskij'schen Raums. Das Abbild der 

 Strecke liegt in einer Diametralebene der Kugel </> = und es ist nach dem Vorigen 



r = 2 log A 



wo l das Doppelverhältnis der beiden Endpunkte ;^ ^1 C, und ?2 112 ^2 des Abbilds und derjeni- 

 gen beiden Punkte, in denen die durch das A^ild bestimmte Gerade die Kugelfläche schnei- 

 det. Folglich ist 



woraus dann genau so wir früher hervorgeht, dass 



(80) cos j^ = 



'2 



Indem wir weiter Ebenenkoordinaten im Euklid'schoi Raiun' einführen, so schreiben wi 



!// = l-i hl 2 + ?; 2 ^ „, 2) _ ] 



T ça ^ Q a * Q a * ça' 



Liegen nun zwei Ebenen in dem Lobatscheffskij'schen Raum vor, so gehen sie in zwe 

 Ebenen (mj v, w,) und (M2 v^ w^) in dem Eukhd'schen Raum über. Der durch den Anfangspunkt 



Tom. XLVI. 



