Zur Theorie der Lobafscheffskij' sehen Geometrie. bo 



gehenile NormalscliniLt der von den beiden gegebenen Ebenen gebildeten JJieders geht in den 

 entsprechenden Normalychnitt in dem EukHd'schen Raum über. Dieser Normalschnitt schnei- 

 det aus der Kugel einen Kreis mit dem Radius k aus und der Winkel w der gegebenen Ebenen, 

 der ja eben durch den Normalschnitt gemessen wird, ist nach dem Vorigen durch die Gleichung 



1^ 



',i 



^ = ^,^Ogfl 



dargestellt, wo fi das Doppelverhältniss der beiden Schenkel des Normalschnitts in dem Eu- 

 klid'schen Kaum mit dem von der Winkelspitze gezogenen Tangenten nach dem Durchschnitts- 

 kreis zwischen der Kugel und dem Normalschnitt bedeutet. Es ist aber dieses Doppelver- 

 hältniss genau gleich demjenigen Doppelverhältniss, welches die beiden Ebenen {u^ t-, w^) und 

 (u2V2tV2) mit den durch ihre Schnittlinie gehenden beiden tangierenden Ebenen der Kugel- 

 fläche bilden. Folglich ist 



(l ■ 



</'i2 - V^12' - 'I'\ "'2 



woraus dann wieder hervorgeht, dass 



(81) cos7i; = -.?;iå^- '■: 



Es bestehen somit im Raum ganz analoge Formeln zu den Formeln in der Ebene. 



Aus (81) kann abgelesen werden, dass zwei auf einander senkrechte Ebenen im Lobat- 

 scheffskij'schen Raum in zwei Ebenen übergehen, von denen die eine durch den Pol der an- 

 deren in Bezug auf die Kugelrläche geht. 



Insbesondere geht hieraus hervoi-, dass ein Strahlenbündel dritter Art des Lobatscheft- 

 skij'schen Raums in ein Strahlenbündel des Euklid'schen Raums üljergeht, dessen Zentrum 

 ausserhalb der Kugel liegt und den Pol zu dem Abbild der Polarebene des Bündels bildet. 

 Das Strahlenbündel zweiter Art, welches ja als Grenzfall auftritt, geht in ein Bündel über, 

 dessen Zentrum auf der Kugelfläche liegt, während das Bündel erster Art in ein Bündel über- 

 geht, dessen Zentrum innerhalb der Kugel liegt. 



Zu jedem Bündel gehört die Schaar der ortogonalen Trajektorienflächen oder Sphären, 

 wie wir sie nannten. Falls in dem Abbild im Euklid'schen Raum das Bündelzentrum in dem 

 Punkt (Il j?! ?,) liegt, so stellt die Gleichung (80) die Gleichung der Abbilder der Sphären des 

 Bündels dar. r ist der Parameter der Sphäre und ?2 V2 ^2 sind die laufenden Koordinaten. 

 Wie wir sehen ist die Gleichung von dem zweiten Grad und stellt also eine Fläche zweiter 

 Ordnung dar. Übrigens geht aus der Gleichung hervor, dass die Fläche demjenigen Flächen- 

 büschel angehört, welches von der Kugelfläche und der doppelt gezählten Polarebene des Bün- 

 delzentrums (£1 ^i Ci) festgelegt wird. 



Die hiermit für das Kugelinnere erklärte Cayley'sche Massbestimnmng können wir na- 

 türhch genau so wie auf der Grenzkugel auf den ganzen Euklid'schen Raum ausdehnen. 



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