54 . Severin Johansson. 



48. Durch naheliegende Verallgemeinerung können wir nun auch eine leonforme Abbil- 

 dung des Lobatscheifskij'öchen Raums auf das Innere der Kugel mit dem Radius k in dem 

 Euklid'sehen Raum herstellen. 



Wir nehmen zwei Ebenen E^ und E2 im Lobatscheflfskij'schen Raum und bezeichnen ih- 

 ren Winkel mit «j.^. Diese Ebenen werden auf zwei Ebenen E, und E2 im Euklid'sehen Raum 

 abgebildet, deren Koordinaten (m, i\ w,) und {u^v^w«) seien. Es ist dann 



(82) cos «12 ^ 



«/'12 



V'f'ï'f'2 



Wir betrachten jetzt diejenigen Ortogonalkugeln Ki und K2 zu unserer Kugellläche, die 

 ihre Mittelpunkte in den Polen der beiden Ebenen Ei und E2 haben und die also durch die 

 Schnittlinien zwischen diesen Ebenen und unserer Kugelfläche hindurchgehen. Wir bezeich- 

 nen den Winkel zwischen K, und Kj mit w,, und zeigen, dass w,2 = ß,2ist (Vgl. Nr. 36). 



Falls wir die Mittelpunkte von Ki und K2 mit Ji iji ^i und Ij «?2 ^2 bezeichnen, so ist w,j 

 Winkel in einem geradlinigen Dreieck, wo das Qvadrat der gegenüberliegenden Seite gleich 



(?i-?2)- + (7i-72)=' + (?,-?2)» 

 ist und die Qvadrat6->der beiden übrigen Seiten bezw. tf>i und <Pj sind. Hieraus folgt, dass 



C0Sa),2 = — ^iÉ=r,- 



Da aber wie in Nr. 36 



SU ist 



fp 



12 



(83) cos »12 : 



Aus (82) und (83) folgt, dass 



(84) cos a),2 = cos «12 



ist. Wählen wir beidemal denjenigen Winkel, innerhalb dessen der Anfangspunkt liegt, kön- 

 nen wir ersichtlich hieraus schliessen, dass 



«12 =«12 q. e. d. 



Der Winkel zweier Ebenen £, und E2 in dem Lobatscheffskij'schen Raum kommt also 

 tatsächlich in dem Euklid'sehen Raum zum Vorschein. Er ist nämlich gleich dem Winkel 

 der beiden oben eingeführten Kugelflächen Ki und K2. 



Es ist nun nicht schwierig zu sehen, dass wir eine Abbildung des Inneren der Kugel- 

 fläche auf sich selbst so durchführen können, dass jede Ebene E in die zugehörige Kugel- 

 fläche K gebogen wird. Die Kugel K ist dabei eine' Ortogonalkugel zu unserer Kugelfläche, 

 deren Zentrum in dem Pol der Ebene E in Bezug auf unsere Grundkugel liegt und die also 

 die Schnittkurve zwischen E und der Grundkugel enthält. 



Tom. XLVI. 



