^ur Theofie der Lohatscheffskif schen Geometrie. 55 



Wir ziehen deshalb durch den Anfangspunkt einen Strahl, der die Kugel K in den 

 Punkten A' und A" nnd die Ebene E in dem Punkt A schneidet. Weiter setzen wir 



OA = Q, OA' = ç', OA" = ç". 

 Dann ist wie in Nr. 37 



(85) ?'?" = ^^ 



(86) ^ + e-'- ^ 



und also 



(87) Q' = 



Q Q Q 

 kQ 



Bezeichnen wir nunmehr die Koordinaten von A mit ?, 7, g und von A' mit |', rj', 5', so ist 



(88) 



Diese Formeln vermitteln die gewünschte Abbildung des Inneren der Grundkugel auf 

 sich selbst, so dass jede Ebene E in die zugehörige Ortogonalkugel K der Grundkugel über- 

 geführt wird. 



Bei der durch die Formeln (88) besorgten Abbildung geht ersichtlich die Gerade als Durch- 

 schnitt zweier Ebenen in einen Ortogonalkreis zur Grundkugel über. 



Weiter geht ein Ebenenbüschel in eine Kugelschaar über, deren Kugeln die Grundkugel 

 ortogonal schneiden und ihre Mittelpunkte auf der harmonischen Polare zur Büschelachse des 

 Ebenenbüschels haben. Schneidet insbesondere die Büschelachse die Grundkugel, so schnei- 

 den sich alle Kugeln der Kugelschaar in demjenigen Ortogonalkreis, der das Abbild der Büschel- 

 achse ist. Liegt die Büschelachse ausserhalb der Grundkugel so schneidet die harmonische 

 Polare die Grundkugel und die Kugeln der Schaar umschliessen den einen oder anderen der 

 beiden Schnittpunkte. Berührt schliesslich die Büschelachse die Grundkugel, so berührt eben- 

 falls die harmonische Polare die Grundkugel in demselben Punkt und die Kugelschaar wird 

 aus allen Ortogonalkugeln der Grundkugel zusammengesetzt, die die Büschelachse in dem be- 

 treffenden Punkt berühren. 



Ein Ebenenbündel geht ersichtlich in eine zweifach unendliche Schaar von Kugelfi über, 

 nämhch diejenige Schaar von Ortogonalkugeln zur Grundkugel, deren Mittelpunkte in der Po- 

 larebene des Bündelzentrums liegen. Daraus folgt dann, dass die Strahlen des zugehörigen 

 Strahlenbündels in Ortogonalkreise zur Grundkugel übergehen, die sämtlich auf diese Polar- 

 ebene senkreht stehen. Liegt dabei das Bündelzentrum innerhalb der Grundkugel, so gehen 



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