56 Severin Johansson. 



alle diese Kreise durch das Abbild des Bündelzeiitrums und das Spiegelbild dieses Abbilds in 

 Bezug auf die Grundkugel. Liegt das Bündelzentrum auf der Grundkugel, so gehen sie alle 

 durch dièses Zentrum. Liegt das Bündelzentrum ausserhalb der Grundkugel, so schneidet 

 seine Polarebene die Grundkugel und die betreffenden Ortogonalkreise schneiden sich nicht. 

 Sie stehen dann aber sämtlich senkrecht auf der zur Polarebene gehörenden Ortogonalkugel, 

 die das Abbild der Polarebene durch die Abbildung (88) darstellt. 



Durcli die hiermit behandelte Abbildung des Inneren der Grundkugel auf sich selbst ha- 

 ben wir auch eine neue Abbildung des Lobatscheffskij'schen Raums auf das Innere der Grund- 

 kugel gewonnen. Die zugehörigen Formeln gehen aus (88) hervor falls wir die Werte für |, 

 tl und Ç aus (78) eintragen. Wir erhalten 



^, _ fe cos n {x) 

 * ~ r+ sin 7r(r) 



, _ fc sin 11 {x) cos n (y) 

 (89) . ^ ~ l + sin//(»-) 



^, _ fc sin // {x) sin II (y) cos II (z) 



^ ~ 1 + sin // (r) ' 



Öiese Formeln besorgen nun eine Abbildung des Loliatscheffskij'schen Raums auf das 

 Innere der Kugel S'^ -f »/'2 + ^'2 = ^2 im Euküd'schen Raum, so dass die Ebenen in Ortogonal- 

 kugeln übergehen und so, dass dabevi der Winkel zwischen zwei Ebenen gleich dem Winkel 

 zwischen den entsprechenden Ortogonalkugeln ist *). 



Wie oben bemerkt wurde, geht bei dieser Abbildung die Gerade in einen Ortogonalkreis 

 zur Grundkugel über. Das Geradenbündel geht in eine Schaar von Kreisen über. Ist das 

 Geradenbündel von der ersten Art, so gehen alle diese Kreise durch das Abbild des Bündel- 

 zentrums. Ist das Bündel von der zweiten Art, so gehen alle Kreise durch einen Punkt auf 

 der Grundkugel. Liegt schliesslich ein Bündel dritter Art vor, so stehen alle Kreise senk- 

 recht auf derjenigen Ortogonalkugel, die das Abbild der Polarebene des Bündels ist. Dies kann 

 dann so ausgesagt werden: Die Normale einer Ebene geht in einen Kreis über, der das Abbild der 

 Ebene ortogonal schneidet. 



Da nun der Winkel zweier Ebenen bei der Abbildung erhalten bleibt, so folgt aus der 

 letzten Bemerkung, dass der Winkel zweier Geraden genau gleich dem Winkel ihrer Bild- 

 kreise ist. Hiermit ist dann nachgewiesen, dass die Abbildung (89) eine konforme ist. 



Der Vollständigkeit halber sei noch hervorgehoben, dass die Sphären als ortogonale 

 Trajektorienflächen des Bündels in die Ortogonalen Trajektorienflächen der oben betrachteten 

 Kreisschaaren übergehen. Diese Flächen sind Kugeln. Bei dem Bündel erster Art erhalten 

 wir Kugeln, die das Abbild des Bündelzentrums umschliessen, bei dem Bündel zweiter Art 

 erhalten wir Kugeln, die die Grundkugel berühren, während bei dem Bündel dritter Art Ku- 

 geln entstehen, die sämtlich einen Kreis mit der Grundkugel gemein haben. 



Weiter können wir noch falls wir nach Nr. 40 zurückgreifen behaupten, dass eine Strecke 

 r in dem" Lobatscheffskij'schen Raum durch die Formel 



') Dieses Bild des Lobatscheffskij'schen Raums sowie das in Nr. 43 orwilhnte entsprechende Bild der 

 Ebene gehen auf Poincakk /.nrück 



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