Zur Theorie der Lohatscheffskij' sehen Geometrie. 57 



r = k log Ji' 



in dem Abbild dargestellt wird, wo X' eine entsprechende Bedeutung wie in Nr. 40 hat. 



Übrigens kann die ganze Abbildung (89) kurz so beschrieben werden, dass wir auf zwei 

 entsprechenden Strahlen der beiden Räume den radii vectores die Bedingung 



, _ k cos n (r) 



" 1 + sin IJ (r) 

 vorschreiben. 



49. Wir können naturlich nun die oben betrachtenen Grössen ?,<?,£ und S', »?', 5' als 

 Koordinaten nach dem Lobatscheffskij'schen Raum überführen. Wir bekommen dabei vor 

 allen Dingen in den Grössen ?, »?, Ç Koordinaten, in denen die Gleichung der Ebene eine lineare 

 ist, während in den Koordinaten T, »?', C alle Sphären als Kugeln dargestellt werden. 



Die unendlich fernen Elemente des Raumes werden in den Koordinaten «, ij, Ç durch die 

 Gleichung 

 (90) i'^ + f + i^ = k^ 



dargestellt und es werden der Abstand zweier Punkte des Raums und der Winkel zweier 

 Ebenen genau diejenigen Masszahlen haben, die ihnen durch eine Cayley'sche Maassbestimmung 

 zukommen, deren absolutes Gebilde die genannte Kugel (90) ausmacht. 



Die Bewegungen des Raumes werden in §, <?, f durch Formeln von der folgenden Form 



dargestellt 



"^ " «4 ? + 64 «? + C* ? + <*i 



«i ? + 6+ »? + <•* Ç + <^i 



mit der Bedingung, dass dabei die Kugel (90) in sich übergeht. 



Durch genau dieselbe Überlegung wie in der Ebene erhalten wir tür das Bogenelement 

 im Raum in den neuen Koordinaten die Formeln 



,„, _ t2 (^^ -t^-fi-^- ^2) (^g2 + d^-z 4. dl;^) + (g rfg 4- ,; df, + C d%f 



und 



dt"' ■]- d,i'^ + dV^ 



//«■2 ;iE L 



Die letzte Formel zeigt dann wieder, dass die Beziehung (89) zwischen dem Lobatscheft- 

 skij'schen und dem Euklid'schen Raum eine konforme ist. 



.Nîo .7. 



