58 Severin Johansson. 



Der Sinussatz des allgemeinen Dreikants. 



50. Wir haben im Vorhergehenden die Maiisszahlen des Abstands zweier Punkte und 

 des Winkels zweier Ebenen des Lobatscheffskij'schen Raums als einfache projektive Grössen 

 im Euklid'schen Raum wiedergefunden. Diesen projektiven Grössen haben wir dann eine 

 allgemeinere Fassung gegeben, indem wir sie auf den ganzen Raum ausdehnten. 



Falls wir zwei sich schneidende Geraden des Lobatscheffskij'schen Raums betrachten, 

 so ist ersichtlich ihr Winkel genau gleich dem Winkel, den die beiden durch die Geraden auf 

 der von ihnen bestimmten Ebene gezogenen Ortogonalebenen mit einander bilden. Hiermit 

 ist dann auch die Möglichkeit gegeben, ebenfalls den Winkel zweier sich schneidender Gei-aden 

 durch eine projektive Grösse im Euklid'schen Raum auszudrücken. Die beiden Ortogonalebe- 

 nen, um die es sich handelt, gehen in zwei Ebenen dieses Raums über, die durch den Pol der 

 durch die Abbilder der beiden Geraden bestimmten Ebene in Bezug auf die Grundkugel <ï> = 

 hindurchgehen und es wird also die Maasszahl des Winkels der beiden Geraden genau gleich 



. log »', wo V das Doppelverhältniss der zuletzt genannten Ebenen mit den tlurch ihre Schnitt- 

 linie gehenden berührenden Ebenen der Grundkugel bedeutet. Die hiermit gewonnene projek- 

 tive Grösse können wir natürlich auch auf den ganzen Euklid'schen Raum ausdehnen. 



Nach dieser Vorbereitung nehmen wir ein beliebiges Dreikant des Euklid'schen Raums, 

 gebildet von drei durch einen Punkt gehenden Ebenen («i v^ w^, (M2 «2 «'2) i-^n*-! (mj v^ w^ und 

 wollen eine einfache Beziehung zwischen den Cayley'schen Maasszahlen der drei von den Ebe- 

 nen gebildeten Winkel und der drei von den Kanten gebildeten Winkel ableiten. 



Wir nehmen an, dass die Dreikantspitze nicht auf der Kugel <i> = liegt und dass weder 

 eine Seitenfläche noch eine Kante die Kugel berührt. Wir bezeichnen die Cayley'sche Maas- 

 zahl des von den Ebenen («i ^i w{) und {u^ v^ ^2) gebildeten Winkels mit «12 und des in 

 (u^v^iW^ liegenden Winkels zweier Kanten mit a,2. Dann ist unmittelbar 



cos «12 = 



und also 



(91) sin^ «,2 = ~W^^ ■ 



Falls wir nun mit {u^' v^' wj) diejenige Ebene verstehen, die durch die Schnittlinie zwi- 

 schen {UfVfWg) und (Msi'sWa) und den Pol von {u-iViW^) geht (wobei e = l oder 2 ist), und 

 schreiben 



so ist nach der einleitenden Vorbemerkung 



(92) sm* a,2 = J, „,T 



1 '2 



Tom. XLVI. 



