Einleitung. 



1. Es giebt bekanntlich unendlich viele hyperbolische Rännie, deren jeder durch einen 

 bestimmten Wert einer positiven, reellen Konstante k festgelegt wird. Der Euklid'sche Raum 

 ist dabei als Grenzfall für i = 00 aufzufassen. 



In dem hyperbolischen Kaum B^- gilt für die Seiten und die Winkel des geradlinigen 

 Dreiecks eine Trigonometrie, deren Formeln aus der gewöhnlichen sphärischen Trigonometrie 

 des Euklid'schen Raums dadurch formal hervorgehen, dass wir den Radius der Kugel mit U 

 ersetzen. Diese Formeln gehen für ^ = oo in die Formeln der ebenen Trigonometrie des 

 Euklid'schen Raums über. 



2. Es ^ebt nun weiter bekanntlich in dem Euklid'schen Raum R^ eine Rotations- 

 fläche, die Fseudosphäre, deren geodätische Dreiecke genau die Trigonometrie in Ek aufwei- 

 sen '). Die Meridiankurve der Fläche ist die Tracirix von Hiujghens mit der konstanten Tan- 

 gentenlänge k zwischen dem Berührungspunkt und der Asymptote. 



Diese Eigenschaft der Pseudosphäre ist einfach abzuleiten. Wählen wir nämlich die 

 Asymptote der Tractrix zur or-Achse und bezeichnen mit m den Winkel zwischen der y-Ko- 



Ordinate und der Tangente, so ist cosw = f' Andererseits ist aber, wenn wir das Bogenele- 



dv 



ment der Kurve mit da bezeichnen, cos m = — 3^- Infolgedessen ist 



' da ° ■ 



da _ Je 



dy" y 



und also 



IT ' 



• Ol ~ k 



y = u -e , 



wo y und t/^"^ {y < y^°^) die Ordinaten zweier Punkte der Kurve und a den längs der Kurve 

 gemessenen Abstand der Punkte bedeuten. Hieraus folgt dann, dass zwei zwischen denselben 



') Dies ist eioe bekannte Eigenschaft aller Flächen mit der konstanten negativen Krümmung ;, 



obwohl wir hier für unsere Zwecke nur die Pseudosphäre besonders hervorheben. 



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