4 Severin Johansson. 



Meridianen liegende Bögen ß und ß^"^ zweier Breitenkreise auf der Pseudosphäre durch die 

 Gleichung 



mit einander verbunden sind. 



■ Führen wir nunmehr krummlinige Koordinaten ein, wobei in gewöhnlicher Weise die Me- 

 ridiane und Breitenkreise zu Kurven ?t = const. und i'^const. gewählt werden, so ist auf 

 Grund dieser Eigenschaft das Bogenelement ds auf der Fläche durch die Formel 



ds^ = e ' du"^ + dv"^ 

 dargestellt. 



Dies i&t aber genau dieselbe Formel, die wir für das Bogenelement in der Ebene in Rk 

 erhalten, falls wir daselbst als Kurven M = const. ein Büschel paralleler Geraden und als 

 Kurven v = const. die zugehörigen Grenzkreise wählen. Es lässt sich somit die Pseudosphäre 

 auf die Ebene in Ri abwickeln und zwar so, dass die Meridiane in parallele Geraden überge- 

 hen und die Breitenkreise in darauf ortogonale Grenzkreise. Da bei dieser Abwickelung die 

 geodätischen Linien auf der Pseudosphäre in die Geraden der Ebene übergehen, so ist die 

 oben hervorgehobene Eigenschaft der geodätischen Dreiecke auf der Pseudosphäre bewiesen. 



3. In vorliegender Abhandlung werde ich in einem beliebigen hyperbolischen Raum 

 Rk, Rotationsflächen aufstellen, die das Analogon zu der Pseudosphäre in R^ bilden. Diese 

 Flächen hängen wie die Pseudosphäre von einem Parameter Je ab und es wird für jeden Wert 

 von k auf den zugehörigen Flächen in R^^ für die geodätischen Dreiecke die ebene Trigonometrie 

 des Raums R,. gelten. 



f 



Die Rotationsflächen in einem hyperbolischen Raum. 



4. Vorläufig werde ich den Begriff der Rotationsfläche in einem hyperbolischen Raum 

 festlegen. 



In einem hyperbolischen Raum giebt es drei Arten von Ebenenbüscheln. Das Büschel 

 ersier Art besteht aus allen Ebenen, die durch eine Raumgerade gehen. Die Ebenen des 

 Büschels ztveiter Art sind mit einander parallel, während schliesslich l)ei dem Büschel dntter 

 Art sämtliche Ebenen des Büschels auf einer Raumgeraden senkrecht stehen. 



Es gehört nun ersichtlich zu jedem Büschel ein Ortogonalbüschel von Ebenen, welches 

 mit dem gegebenen zusammen ein Doppelhüsehel bildet. Ist das gegebene Büschel von der 

 ersten oder dritten Art, so ist offenbar das Ortogonalbüschel bezw. von der dritten oder er- 

 sten Art, und es wird dann jedesmal das Doppelbüschel aus allen durch eine Raumgerade ge- 

 henden und allen auf derselben Geraden senkrechten Ebenen zusammengesetzt. Wir nennen 

 dann das Doppelbüschel eigentlich und die genannte Raumgerade die Achse des Doppelbüschels. 

 Ist das gegebene Büschel von der zweiten Art, so ist bekanntlich auch das Ortogonalbüschel 

 von der zweiten Art. Sie bilden dann ein uneigentliches Doppelbüschel. 



Es giebt nun ersichtlich Bewegungen des Raums, die ein Doppelbüschel in sich so über- 

 führen, dass die Ebenen des einen Büschels Bahnebenen und die des anderen Niveauebenen 



Tojn. XLVI. 



