über die Tractrix und die F.seudosphäre in der hyperbolischen Geometrie. 5 



der Bewegung sind. Wir nennen jede derartige Bewegung eine Drehung. Es geiiö'rt dann 

 offenbar zu jedem Doppelbüschel zwei Schaaien von Drehungen, jenachdem das eine oder an- 

 dere Ebenenbüschel als Bahnebenen gewählt wird. Wir nennen diese Drehungen konjugierte 

 .Drehungen. Bei dem eigentlichen Doppelbüschel sind die konjugierten Drehungen ersichtlich 

 von verschiedenem Typus und wir nennen sie dann Drehungen erster oder dritter Art, jenach- 

 dem das Niveauebenenbüschel von der ersten oder dritten Art ist. Bei dem uneigentlichen 

 Doppelbüsctiel entsteht nur noch ein Typus von Drehungen, die wir dann Drehungen ztveiter 

 Art nennen. 



Bei dem eigentlichen Doppelbüschel bleibt die Achse Punkt für Punkt fest oder aber sie 

 wird in sich verschoben, jenachdem die Drehung von der ersten oder dritten Art ist. Sonst 

 beschreibt bei jeder Drehung jeder Raumpunkt einen ZgM und zwar einen Kreis, einen Grem- 

 kreis oder eine aequidistante Kurve, jenachdem eine Drehung erster, zweiter oder dritter Art 

 vorliegt. Bei der Drehung dritter Art handelt es sich ersichtlich um eine Schiebung des 

 Raums längs der Achse des Doppelbüschels. 



Falls wir zwei konjugierte Drehungen zusammensetzen, entsteht eine Schraubung des 

 Raums und. zwar eine eigentliche oder uneigentliche Schraubung jenachdem das Doppelbüschel 

 eigentlich oder uneigentlich ist. 



5.. Bei einer Drehung beschreibt eine in einer Niveauebene liegende Kurve eine Bota- 

 tionsfläche. Wir sagen dabei, dass die Fläche von derselben Art ist wie die zugehörige er- 

 zeugende Drehung. Die verschiedenen Lagen der Ausgangskur-ve bei der Drehung nennen wir 

 Meridiane und die von den Punkten der Kurve beschriebenen Zykeln Breitenzykeln auf der 

 Fläche. Die Meridiane und Breitenzykeln werden von den Niveau- bezw. Bahn-ebenen aus- 

 geschnitten. 



Eine besonders bemerkenswerte Klasse von Rotationsflächen wollen wir sogleich hervor- 

 heben. Sie entstehen dadurch, dass wir als Meridiankurve die Bahnkurve einer Drehung 

 wählen und dann die konjugierte Drehung ausüben. Bei dieser Fläche sind sowohl die Meri- 

 diane als die Breitenzykeln Zykeln und zwar ist bei dem eigentlichen Doppelbüschel die eine 

 dieser Kurven ein Kreis und die andere ,eine aequidistante Kurve, während sie bei dem un- 

 eigentlichen Doppelbüschel beide Grenzkreise sind. In dem letzteren Fall ist die Fläche ein- 

 fach eine Grenzkugel. In dem ersteren Fall erhalten wir eine Fläche, die dadurch entsteht, 

 dass eine aequidistante Kurve zu der Achse um diese herum gedreht wird, oder aber eine 

 Fläche, die von einem Kreis beschrieben wird, dessen Mittelpunkt längs der Achse gleitet, 

 während seine Ebene auf der Achse senkrecht verbleibt. Diese Flächen sind aber nicht ge- 

 staltlich verschieden und wir kommen somit auch bei dem eigentlichen Doppelbüschel zu ei- 

 nem einzigen Flächentypus. Diese Fläche bildet dabei das Analogen zu dem Kreiszylinder in 

 dem Euklid'schen und der Cliff ord' sehen Fläche in dem elliptischen Raum. 



Offenbar gehen die hiermit zu dem Doppelbüschel erklärten Flächen bei allen zu dem 

 Doppelbüschel gehörenden Schraubungen in sich über. 



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