Severin Johansson. 



Koordinaten in der Ebene. 



6. Die ßotationstläche entsteht durch Drehung einer Kurve, die in einer Niveauebene 

 E liegt. Wir wollen nun vorläufig geeignete Koordinaten in E einführen und gewisse vor- 

 bereitende Formeln zusammenstellen. 



Es giebt in E zwei ausgezeichnete Kurvenschaaren, die ein Ortogonalsystem bilden, 

 nämlich die Spurlinien der Bahnebenen und die zu diesem Strahlenbüschel gehörende ortogo- 

 nale Zykelschaar. Wir wählen die Koordinaten jedesmal .so aus, dass die Kurven a; = const. 

 und u = const. bezw. mit den Strahlen und Zykeln zusammenfallen. Bei tler konjugierten 

 Drehung sind dann diese Kurven einfach Niveau- und Bahn-kurven. 



Bei der Drehung erster Art stehen alle die genannten Spurlinien auf der Achse des Dop- 

 pelbüschels senkrecht und bilden somit ein Büschel dritter Art mit dieser Achse als Büschel- 

 polare. Wir wählen diese Polare zur x- Achse und messen die ic-Koordinate von einem festen 

 Ausgangspunkt. Die î/-Koordinate wird längs einem Büschelstrahl von der x-Achse aus ge- 

 messen. Wir nennen die Koordinaten x^ und y, . 



Bei der Drehung zweiter Art sind die Spurlinien paralle^ und bilden somit ein Büschel 

 zweiter Art. Hier werden die Koordinaten x^ und y^ genau so wie im ersten Fall festgelegt 

 nur mit dem Unterschied, dass wir hier einen beliebigen Grenzkreis aus der Ortogonalschaar 

 zur Kurve 2/2 = wählen, y.^ wird nach der konvexen Seite dieses Grenzkreises positiv ge- 

 rechnet. 



Bei der Drehung dritter Art gehen alle die oben genannten Spurlinien durch den Schnitt- 

 punkt zwischen der Ebene E und der Achse des Doppelbüschels und bilden somit ein Büschel 

 erster Art. Wir wählen jetzt als a;-Koordinate den Winkel zwischen einem Büschelstrahl 

 und einem festen Ausgangsstrahl und messen y als radius vecf,or längs dem Büschelstrahl. 

 Wir nennen die Koordinaten x^ und y^. 



1. Liegt nun in irgend einem Fall eine Kurve 



y = y{x) 



vor, so bezeichnen wir mit w den Winkel zwischen der Tangente und der (/-Koordinate und 

 mit da das Bogenelement der Kurve. Es ist dann offenbar 



(1) «o«« = -|- 



Bezeichnen wir nun weiter mit da' das Bogenelement auf der durch den Kurvenpunkt 

 (■*j y) gehenden Kurve 7/ = const., so ist da"^ = da"^ -\-dy^. Da in unseren drei Fällen die 

 Beziehungen 



da^' = ^.^ jj ■ , da^' = e *' dx^ , da^' =.dx3 . A;„ cot // {y^) 



gelten, wo A;„ die Konstante des hyperbolischen Raums bedeutet, so folgen für das ßogen- 

 element der Kurve in den drei Fällen die Gleichungen 



Tom. XLVI. 



