Üher die Tractrix und die PseudosplUire in der hyperbolischen Oeometrie. 



dr 2 



(2") rfff,2 = e*" (foä' + rfy./, 



(2 '") (/ff/ = ÄV^ cof^ // 0/,) (7.r/ 4- (^^32 . 



Die Tractrix im Raum R,,^. 



8. Nach diesen Vorbereitungen gehen wir zu unserem Problem. Wir nennen zwei 

 zwischen denselben Meridianen liegende Bögen zweier Breitenzylceln entsprechende Bögen und 

 stellen uns, in Übereinstimmung mit den in Nr. 2 durchgeführten Entwickelungen über die Pseu- 

 dosphäre, die Aufgabe, eine Rotationsfiäche in R^, anzugehen, auf welcher entsprechende Breiten- 

 zykelbügen ß und ß'^'^' durch die Oleichung 



o 



ß = ß .e 



vereinigt sind. Hier ist ff der längs einem Meridian gemessene Abstand der Breitenzykeln 

 und Je eine Konstante. 



Die Meridiankurve dieser Fläche nennen wir Tractrix und bezeichnen sie mit T**'. Un- 

 seren drei Fällen entsprechend erhalten wir drei Arten von Tractricen, die wir mit (r].*')], 

 {Tl'^\ und {Tl'\ bezeichnen. 



Wir können nun einfach die obige Gleichung in eine Bedingung für diese Meridiankurve 

 umsetzen. Wir bezeichnen deshalb mit y und «/'"' die »/-Koordinaten derjenigen beiden Punkte 

 auf der Meridiankurve, von denen bei der Drehung die betrachteten Breitenzykeln beschrieben 

 werden. Ersichtlich können wir nun durch eine zu dieser Drehung konjugierte Drehung die 

 eine Breitenzykelebene in die andere überführen, wodurch ß und /i***' in entsprechende Bögen 



zweier konzentrischer Zvkeln übergehen. Hieraus folgt, dass das Verhältniss —^ in den drei 



ß 



Fällen durch die Ausdrücke 



!>% — Vi 



cot // O/i) *■« 1,1 



cot /7 (2//«*) ' sin //(2/,) 'sin /7(2/;°') 



gegeben ist. 



Indem wir nach der Fragestellung zurückgreifen, erlialten wir hieraus für die drei Kurven 



Tj.*' die Beziehungen 



/■V\ cot /7 O/t ) _ -1' 



^^ cotn{yn~ ' 



(0) 

 Vi — </i _ Ci 



(d ) e =e , 



(3'") 



sin /y (»/3) 'sin fJ{yf') 



N:o 8. 



= e 



.5- 



