8 Severin Johansson. 



wo y und ?/*"' die y-Koordinaten zweier Punkte und a die Kurvenlänge zwischen diesen Punk- 

 ten bedeuten. 



9. Aus diesen Gleichungen können wir nun unmittelbar die Differentialgleichungen der 

 drei Kurven T^''^ ableiten, indem wir jedesmal nach y differentiieren und dann da aus (2) 

 eintragen. Um dies durchzuführen, schreiben wir zuerst die Gleichungen (3) in die Form 



, , cot 11 (!/i) h ( .o,\ , , sin /7 (»3"") 



woraus durch Differentiation folgende drei Gleiclumgen erhalten wei'den 



k 

 (4") df!.,=^-ydy^, 



(4'") d<J, = -^ coHlf{y,)dy,. 



Falls wir nun jedesmal da aus der entsprechenden Gleichung (2) eintragen, kommen wii- zu 

 folgenden Differentialgleichungen der Kurven (r^f)i, (TJ^'X »nd {tI'^^),: 



dXy 1 



(5 ') ^ '^t^^" ^^'^ Vh^-K' cos'' /7 0/,), 



(5'") ~ = -^^^tg 11 {y,)yk^co^^/J{y,)-k,\ 



10. Aus den hiermit abgeleiteten Differentialgleichungen, wo jedesmal die Wurzelgrösse 

 mit doppeltem Vorzeichen zu rechnen ist, können wir vorläufig einige Resultate ablesen. 



Vor allem bemerken wir, dass x als Funktion von y bis auf eine additive Konstante 

 bestimmt ist. Dies besagt, dass die Lösungen von (5) durch die zur vorgelegten Drehung 

 konjugierten Drehungen aus einander hervorgehen. 



Die Gleichung (5') behält für jeden Wert von h reelle Bedeutung, (5") dagegen nur für 



Jcy-TcQ und (5'") nur für h^kg. 



dii 

 Der Fall fc = 00 ist jedesmal besonders bemerkenswert. Es ist dann nämlich , , = 



oder y =■ const. Die Kurve T/* ist also jedesmal eine Bahnkurve zu der konjugierten Dre- 

 hung. Die zugehörige Piotationsfläche ist dann die in Nr. 5 besprochene Fläche, die bei jeder 

 zu dem Doppelbüschel gehörenden Schraubung in sich verschoben wird. Auf dieser Fläche 

 sind entsprechende Breitenzykelbögen gleich. 



Für k — ka ist nach (5") 7:^ = oder ^2 = const. Die Kurven {T^^^^ fallen somit ein- 



Tom. XLVI. 



