über die Tradrix und die Pseudosphäre in der hyperbolischen Geometrie. 9 



fach mit diesen Geraden zusammen und es ist also die von uns gesuchte Rotationsfläche in 

 diesem Fall eine Ebene. Aus (5') wieder folgt für k = Jco die Differentialgleichung 



dx, .sin 2 "(;'/i) 



f///, ^— cos //(y,) ■ 



Hieraus fiilgt durch Integration, dass 



+ cos n (î/i) = e 



j?i — a?i 



ist, wo a?/"' die Integrationskonstante ist und links das obere oder untere Vorzeichen zu 

 nehmen ist, jenachdem î/i > oder < i.-:^t. Dies ist aber die Gleichung derjenigen vier Ge- 

 raden, die mit der a;,-Achse und der Geraden a;, =,x-/'" gleichzeitig parallel sind. Es fällt so- 

 mit (2\!*°')i "lit diesen Geraden zusammen und die zugehörige Rotationsfläche ist einfach aus 

 zwei asymptotischen Kegelmänteln zusammengesetzt. 



Eigenschaften der Tractrix. 



11. Die Kurven T^^^^ haben eine einfache Tangenteneigenschaft, die das Analogen zu 

 der bekannten Eigenschaft der Tangente bei der gewöhnlichen Tractrix im Euklid'schen Raum 

 bildet. Bei Ableitung dieser Eigenschaft werden wir jedesmal für die Konstante Je eine ein- 

 fache Bedeutung finden. 



Wir kehren nach der Gleichung (1) zurück. Falls wir hier die Werte von da aus den 

 Gleichungen (4) eintragen, so erhalten wir in den drei Fällen die Beziehungen 



k 

 (ß ' ) cos w , = -^ cos /7 f V , ) , 



(6") cos «, = !>, 



(6 ) cos 0)3 — 



\ 



k cos n (2/3) 

 Wir wollen diese Gleichungen jede für sich näher in Betracht ziehen. 



12. Ist in der Gleichung (6') zuerst Tc-Ci,,, so ist «1 < /7(?/i) und es schneidet .somit 

 die Tangente in jedem Punkt der Kurve die .i;,-Achse. Bezeichnen wir die Länge der Tan- 

 gente zwischen dem Berührungspunkt und der .Xj-Achse mit r, so erhalten wir aus dem von 

 r, ?/, und der a:,-Achse gebildeten Dreieck die Beziehung 



cos /7 (7/, ) 



cos W, = 777V ■ 



cos //(r) 



Falls wir diese Gleichung mit (ß') vergleichen, so sehen wir, dass 



(7) Ä: = ^„ cos // (*■) 



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