10 Severin Johansson. 



ist. Hieraus folgt dann insbesondere, dass r längs der ganzen Kurve konstant ist. Die Kurve 

 (y,'.''')i hat somit für A; < ätq genau dieselbe Eigenschaft der Tangente wie die Tractrix im 

 Euklid'schen Raum. 



Ist Jc = 'ko, so ist nach (6') w, = /7(7/i). Dies steht in Übereinstimmung mit der in Nr. 

 10 entwickelten Tatsache, dass die Kurve (^j'"*)! eine mit der a;, -Achse parallele Gerade ist. 



Wenn schliesshch ^ > ^o ist, so ist nach (6') «, > n{yi) und es haben somit die Tan- 

 gente und die a;i-Achse eine gemeinsame Senkrechte, die dann eine Gerade a;, = const. ist. Be- 

 zeichnen wir das Stück der Tangente zwischen dem Berührungspunkt und dieser Senkrechten 

 mit ^,' so erhalten wir aus dem von ?/, , der Tangente, der x,-Achse und der Senkrechten ge- 

 bildeten dreirechtwinkligen Viereck die Beziehung 



cos w, = cos /y (p) cos // iyi). 



Falls wir nun wieder mit (fi') vergleichen, .so wird 



Hieraus schliessen wir, dass p längs der ganzen Kurve konstant ist. 



13. Gehen wir jetzt zu der Kurve (yf*%, so bemerken wir sogleich, dass nach der 

 Gleichung (6") der Wiiihel m^ konstant ist. Bestimmen wir in diesem Fall die Länge p durch 

 die Gleichung 



und tragen die so festgelegte konstante Länge p längs der Tangente von dem Berührungs- 

 punkt ab, so steht die durch den anderen Endpunkt von p gehende Gerade .^2 = const. auf p 

 senkrecht. Da weiter nach (6") k und p durch die Gleichung (8) verbunden sind, so sind wir 

 somit zu genau derselben Tangenteneigenschaft gekommen wie in der vorigen Nummer für 

 "- 1> "-() • 



Hierbei ist angenommen, dass ,^>^o ist. Es kann aber auch k = ko sein. Dann ist 

 nach (6") der Winkel W2 = 0. Die Kurve ist dann, wie in Nr. lU hervorgehoben wurde, selbst 

 eine Gerade »2 = const. 



Die Eigenschaft der Kurve (T;''')?) 'üß Geraden .r.2 = const. isogonal zu schneiden, führt 

 übrigens unmittelbar zur Bestinuuung dei" Kurve. Wird niimlich die Konstante q durch die 

 Gleichung 



(9) "h-^-rUq) 



bestimmt und betrachten wir diejenigen beiilen aequidistantou Kurven, die im Abstand q von 

 einer Geraden 0:2 = const. laufen, so schneiden diese offenbar jeden anderen Strahl a;2 = const. 

 unter dem Winkel wj. Da aber die Gesamtheit dieser Kurven keine Einhüllende haben, so sind 

 sie die einzigen Kurven, die die genannte Eigenschaft besitzen, und es muss somit {T^^\ eine 

 derartige Kurve sein. 



Übrigens folgt aus ((i") und (9), dass q durch die Gleichung 



. Tom. XLVI. 



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