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über die Tract» ix und die Pseudospfuire in der hijperholischen Geometrie. 11 



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sin n {q) 



mit h verl)unden ist. Wir künuen somit den Satz aussprechen 



Die Kurve {T^,''% ist eine aequidistante Kurve, die in dem durch die Gleichung (10) be- 

 stimmten Abstand q von einer Geraden X2 = cunst läuft. 



14. In dem dritten Fall ist nacli (H'") für endliche Werte von k der Winkel 0)3 kleiner 

 als ^-j • Es giebt somit eine von dem radius vector des Berührungspunkts verschiedene Ge- 

 rade x'3 = const., lue auf der Tangente senkrecht steht. Falls wir nun wieder die Länge der 

 Tangente zvyisclien dem Berührungspunkt und tlieser Senkrechten mit p bezeichnen, so erhal- 

 ten wir aus dem von der iSenkrechteii, der Tangente und der »/3-Koordinate gebildeten Dreieck 



die Beziehung 



cos /7 (p) 



cos «3 



cos //(2/3) 



Durch Vergleichung mit (6'") erhalten wir wieder zwischen /.; und p die Gleichung (8) und 

 können somit wieder schliessen, dass p längs der gamen Kurve konstant ist. 



15. Die hiermit gewonnenen Ergebnis.se fassen wir in folgenden Satz zusammen. 



Für k <ih„ sehneidet die Tangente der Kurve (î'^''''), die x^-Achsc und es ist die Länge 

 der Tangente zuuischen dem Berührungspunkt und dem Schnittpunkt mit der Xi-Achse konstant 

 gleich r, ivo r durch die Gleichung (7) bestimmt ist. Für k^hf, steht in jedem von den drei 

 Falten die Tangente der Kurve T^_ ' auf einer zugehörigen Geraden x = const. senkrecht und es 

 ist die Länge der Tangente zwischen dem Berührungspunkt und der genannten Geraden kon- 

 stant gleich p, wo ^) durch die Gleichung (8) festgelegt wird. 



Der Fall i = io ist ilurchaus als ein Greuzfall zu betrachten. Es ist nämlich dann roder 

 p unendlich gross. 



Ersichtlich können wir die hiermit gewonnene Tangenteneigenschaft als eine Trajekto- 

 rieneigenschaft der Kurve aussprechen. Wir erhalten folgenden Satz, wo r und p die obigen 

 Bedeutungen haben: 



Die Tractrix im. Raum Bi^ ist ortogonale Trajektorie einer Zykelschaar und zwar für 

 k < fco zu der Schaar aller Kreise mit dem Radius r, deren Mittelpunkte auf der x^-Achse liegen, 

 und für k^k„ zu der Schaar aller aequidistanten Kurven, die im Abstand p von den Geraden 

 X — const. laufen. 



Für h = ko besteht die ortogonale Zykelschaar ersichtlich aus konzentrisclien Grenz- 

 kreisen. 



Für fc = 00 ist P--0 und es fallen somit die aequidistanten Kurven mit den Geraden 

 X = const. zusammen. Die Kurve 7'^*'"* ist also ein beliebiger Zykel ij = const., wie schon in 

 Nr. 10 hervorgehoben wurde. 



N:ü 8. 



