12 Severin Johansöon. 



Abbildung auf die Grenzkugel. 



16. Die hienniL entwickelte Tangen teiieigensciiaft der Tractrix erliält eine besonders 

 einfache Bedeutung, falls wir die xy-Ebene auf eine sie berührende Grenzkugel durch Ver. 

 mittelung der Achsen der Grenzkugel projizieren *). 



Bei dieser Projektion wird die ganze Ebene auf eine Kalotte mit dem längs der Grenz- 

 kugel gemessenen Radius Jc^ ein-eindeutig abgebildet. Die Geraden der Ebene gehen in 

 Grenzkreise auf der Grenzkugel über. Dabei sind die Maasszahlen der Strecke und des Win- 

 kels in der Ebene genau mit denjenigen Maasszahlen identisch, die ihren Abbildern auf der 

 Grenzkugel zukommen, falls wir daselbst eine Gayley'sche Maassbestimmung mit dem Ka- 

 lottenrand als alisoluteni Gebilde durchführen. 



Dies vorausgeschickt bemerken wir zuerst, dass das Struhlenbüschel a; = const. jedesmal 

 in ein GrenzkreiKbüschel bei der Projektion übergeht und zwar liegt das Büschelzeiitrum ii 

 in unseren drei Fällen bezw. ausserhalb der Kalotte, auf dem Kalottenrand oder innerhalb 

 der Kalotte. Betrachten wir nun jedesmal die Polare w von Si in Bezug auf den Kalotten- 

 rand, so fällt im ersten Fall das Abbild der a;-Achse längs dieser Polare, während in den 

 üi)rigen Fällen w keinen Punkt im Inneren der Kalotte hat und somit keiner Geraden in der 

 Ebene entspricht. In dem zweiten Fall berührt w den Kalottenrand in ii. 



Die Kurve T^.''' wird auf eine Kurve T^.^*'* projiziert. Insbesondere wird die Tangente in 

 dem Punkt P der Kurve auf einen Grenzkreis abgebildet, der die Kurve T^!*^ in dem Abbild 

 P von P berührt. Wir bezeichnen den Schnittpunkt zwischen diesem berührenden Grenzkreis 

 und M mit A und die Schnittpimkte zwischen demselben Grenzkreis und dem Kalottenrand 

 mit M und N, wobei N und A auf derselben Seite von P liegen. Betrachten wir nunmehr 

 das Doppelverhältniss 

 nn ■ l AM.PM 



(11) ^ = ÂN-PN' 



so können wir die in der vorigen Aljteilung abgeleitete Tangenteneigenschaft der Kurve Tj**' 

 als folgende Eigenschaft ihrer Projektion ausdrücken 



Längs der ganzen Kurve T^^' ist das Doppelverhältniss k konstant. 



Dies ist für h<ihg unmittelbar einleuchtend, denn es ist in diesem Fall PA das Abbild 

 einer Strecke PA von der Länge r und infolgedessen, wegen der Identität der Maasszahlen 



in der Ebene uiul der Cayley'schen Maasszahlen auf der Grenzkugel, *■ == ^ log A otler 



(12) >l = /". 



Da r eine Konstante ist, so ist tier Satz somit in diesem Fall bewiesen. 



Ist A;>Ä;o, so betrachten wir in der Ebene den Schnittpunkt B zwischen der Tangente 



') Vgl. die Abhandlung des Verfassci-s: Zur Theorie der Lohalschcjfdcij' sehen Geometrie, Acta Soc. Sc. B^cnn. 

 T. XLVI * 7. 



Tom. XLVI. 



