über die Tractrix und die Fseudosphäre in der hyperbolischen Geometrie. 18 



und der darauf senkrechten Geraden a. = const. und sein Abbild B auf der Grenzkugel. Es ist 

 dann PB das Abbild einer Strecke von der Längen und infolgedessen |) = ~ log /* oder 



*«. 



H = e , 

 wo 



^BM PM 

 ^ BN • PN 



ist. Die Tangente und die darauf senkrecbte Gei'ade x = const. gehen aber in harmonische Po- 

 laren in Bezug auf den Kalottenrand über, woraus dann offenbar folgt, dass B und A harmo- 

 nische Pole sind. Infolgedessen ist l = — fi oder also 



2p 



Da p konstant ist, so ist der Satz auch in diesem Fall bewiesen. 



Die neue Konstante A hängt ersichtlich mit der Konstante k durch die Gleichung 



(W h^k^ 





zusammen. Der Fall k — ä:„ ist als Grenzfall für | A | = oo anzusehen. Übrigens ist, wie aus 

 (12) und (13) hervorgeht, ! A| > 1. 



Der hiermit bewiesene Satz ermöglicht in die Natur der Kurven T^*^^' einzudringen. Wir 

 bezeichnen deshalb mit T {X) eine Kurve auf der Grenzkugel, die die Eigenschaft hat, duss 

 das oben besprochene Doppelverhältniss A längs der Kurve invariant ist, und wollen diese 

 Kurven näher untersuchen. Die Kurve T''^^ besteht dann aus denjenigen Teilen der zugehö- 

 rigen Kurve T (A), die innerhall) der Kalotte liegen. Unseren drei Fällen entsprechend erhal- 

 ten wir drei Arten von Kurven T (A), die wir mit Ti {l\ Tj (A) und T3 (A) Ijezeichnen. 



17. Wir fangen mit dem dritten Fall an und lassen dabei die Grenzkugel die Ebene im 

 Zentrum des Strahlen büschels a;== const. berühren. Es liegt dann ii im Mittelpunkt der 

 Kalotte und « infolgedessen unendlich entfernt auf der Grenzkugel. 



Infolgedessen ist 



j_PN 

 ^-PM 



und die Kurve T3 (A) ist somit dadurch charakterisiert, dass dieses Verhältnis« längs der Kurve 

 konstant ist. Hiermit treten wir aber in Verbindung mit wohlbekannten Tatsachen und kön- 

 nen unmittelbar schliessen, dass die Kurven T, (A) zyUoidale Kurven sind, deren Scheitel auf 



dem Kalottenrand liegen. Der Basiskreis hat zum Mittelpunkt und den Radius ^"oy-^-r* 



Für A < erhalten wir Epizykloiden und für A > Hypozykloiden. Wird k durch die Glei- 

 chung (14) als Konstante der Kurve eingeführt, so sind die beiden genannten Fälle durch 

 bezw. i > Äq und A: < ä;,, charakterisiert, und es erhält der Radius des Basiskreises den Aus- 

 druck ^. 

 k 



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