14 Severin Johansson. 



Wir schliessen nun hieraus, dass die Kurven ('1'^^)^ Epizykloiden sind und dass somit 

 für unsere Zwecke nur der Fall k > \ in Betracht kommt. Der Basiskreis iiat ersichtlich 

 den Radius k^ cos n{p). Dies können wir dann so ausdrücken: 



Die Tradrix {Tf^ in der Ebene ist die Projektion einer Ejmijkloide auf der Gren::kugel. 



Bei dieser Projektion geht der Basiskreis in einen Kreis mit dem durch die Gleichung 

 (8) bestimmten Radius i) über, während der Kalottenrand nach der Unendlichkeit projiziert 

 wird. Es liegt somit die Tractrix in diesem Fall ausserhalb des Kreises mit dem Radius p, 

 dessen Peripherie sie nur noch mit Spitzen erreicht. Von einer Spitze läuft die Kurve auf 

 beiden Seiten der Spitzentangente nach der Unendlichkeit. 



18. Wir gehen jetzt zu dem ersten Fall über und lassen diesmal die Clrenzkugel die 

 Ebene im Koordinatenanfangspunkt berühren, w geht dann durch den Mittelpunkt der Ka- 

 lotte und ii liegt unendlich fern. 



Dieser Fall hängt mit dem eijen Ijehandelten eng zusammen. Um dies zu zeigen führen 

 wir beidemal auf der Grenzkugel rechtwinklige Koordinaten ein, indem wir zwei aufeinander 

 senkrechte Grenzkreise durch zu Koordinatenachsen wählen und die Koordinaten längs auf 

 diesen senkrechter Grenzkreise messen. In diesen Koordinaten S und »/ hat der Kalottenrand 

 die Gleichung ?^ + iy^ = V- 



Wir lassen in dem jetzt vorliegenden Fall die §-Achse mit w zusammenfallen und be- 

 trachten die Projektivität 



(15) ?/ = -, î,'-/^o'' 



auf der Grenzkugel. Durch diese wird der Kalottenrand in die gleichseitige Hyperbel 

 C2_»^2 = ^j2 übergeführt, wobei w nach der Unendlichkeit transformiert wird. Die Kurve T, (A) 

 geht in eine neue Kurve T/ (A) über. Bezeichnen wir einen Punkt dieser Kurve mit P und 



mit M und N die Schnittpunkte zwischen dem berührenden Grenzkreis in P und der gleicli- 



PN 

 seifigen Hyperbel, so geht offenbar das Doppelverhältniss X in das Verhältnis« pT^ über und 



die Kurve T/ (A) ist dadurch charakterisiert, dass dieses Verhältniss längs der Kurve konstant 

 ist. Die Kurve T,'(.i) steht somit in genau derselben Beziehung zu der gleichseitigen Hy- 

 perbel wie die Kurve T3(^) zu dem Kalottenrand. 



Hieraus folgt aber offenbar, dass die Kurven T,'{>1) aus den zykloidalen Kurven Tj (A) 

 durch die imaginäre Affinität 



(16) li' = ?3, Vi' = iv-i 



hervorgehen. Dabei gehen die reellen Zweige der Kurven Ti'(/) aus denjenigen Zweigen der 

 zykloidalen Kurven hervor, die mit rein imaginärer »?-Koordinatu auftreten. 



Falls wir (15) und (16) zusammensetzen, erhalten wii- die imaginäre Projektivität 



(17) 5, = ^o^|-'' 1'^Y^' 



die somit die Kurven Ti (A) und T3(^) in einander überführt. Führen wir auch in dem vor- 



Tom. XLVI. 



