über die Tractiix und die Pseudosphäre in d&r hyperbolischen Oeometrie. 15 



liegenden Fall die Konstante Tc durch die Clleichiing (14) ein, so erhalten wir, jenachdem 

 A; > fco oder h < ^o ist, zwei Arten von Kurven Tj (A), wobei die ersteren aus den Epizykloi- 

 den und die letzteren aus den Hypozykloiden hervorgehen. Auf die daltei entstehenden me- 

 trischen Verhältnisse werden wir später eingehen. 



19. Wir Ijetrachton schliesslich den zweiten Fall. Hier liegt il auf dem Kalotteni-and 

 52 + j|^2 = fc,|2 „1^,1 ,]iß Polare « lierührt somit den Kalottenrand in diesem Punkt. 



Ijassen wir ii in dem Punkt (0, — /„) liegen, so wird durch die Projektivität 



(liS) $2 = p^l ^2 = T 7 



«?2 + ^0 l?2+^ü 



die Polare w nach der Unendlichkeit transformiert, während der Kalottenrand %-^ + r^^ = 'k^^ in 

 ilie Parallel ^2'^ = — 72' übergeht. Wir können hieraus wieder schliessen, dass die durch die 

 Projektivität (18) aus der Kurve T2 (A) entstandene Kurve T2'(A) in Bezug auf die genannte 

 Parabel genau dieselbe Eigenschaft hat wie die oben untersuchten Kurven T3 (A) und T/ (A) 

 in P>ezug auf den Kreis und die Hyperbel. 



Falls wir aber nach der Kalotte zurükkehren, können wir sehr leicht die Kurven T2 (A) 

 ülierblicken. Wir betrachten deshalb dasjenige Grenzkreisbüschel, dessen Zentrum in ß liegt, 

 und bei jedem Grenzkreis dasjenige Büschel von Kurven zweiter Ordnung in ? und «?, welches 

 von dem Grenzkreis, doppelt gezählt, und dem Kalottenrand festgelegt wird. Die so entstan- 

 dene Mannigfaltigkeit von Kurven deckt sich offenbar mit der Mannigfalt^keit der Kurven 

 T2 (A). Da nämlich jede Kurve jedes so definierten Büschels von Kurven in sich übergeht 

 bei einer Schaar von projektiven Umformungen, welche den Kalottenrand und « in sich ülier- 

 führen, ist jede dieser Kurven eine Kurve T^ (A). Da sie aber keine Einhüllende halten, muss 

 jede Kurve T^ (A) eine derartige Kurve zweiter Ordnung sein. 



Wir bemerken noch, dass die eben betrachteten verschiedenen Büschel aus einander 

 durch diejenigen projektiven Umformungen der Kaiotto in sich hervorgehen, die ü ungeändert 

 lassen und somit w in sich verschieben. Hieraus folgt, dass schon beim Durchwandern eines 

 einzelnen Büschels nach und nach alle möglichen A-Werte zum Vorschein kommen. Die ver- 

 schiedenen Kurven mit demselben A-Wert liegen in den verschiedenen Büscheln. 



Für A < erhalten wir Kurven T2 (A), die innerhalb der Kalotte liegen. Diese sind dann 

 die Kurven (T^'.*'')2- Für l > liegen die Kurven T2 (A) ausserhalb der Kalotte. Wird fc durch 

 die Beziehung (14) als Konstante der Kurve Tj (A) eingeführt, so sind die ersteren Kurven 

 durch fc > fco "ii'l 'lie letzteren durch fc<fco charakterisiert. 



20. Obwohl wir schon in Nr. 13 die Kurve {Tf^)i in der Ebene vollständig untersucht 

 haben, wollen wir doch der Vollständigkeit halber von dem jetzt erreichten Standpunkt aus 

 die Kurve festlegen. Wir führen deshalb ein anderes längs der Kurve (T^.*')2 ebenfalls inva- 

 riantes Doppelverhältniss ein. Wir bezeichnen mit a' den durch H gehenden Grenzkreis, der 

 ein Kurvenlnischel von der oben betrachteten Art bestimmt, und betrachten den auffliegen- 

 den Pol A' von a'. Wir verbinden nun einen Punkt P auf einer bestimmten Kurve des 



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