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Severin Johansson. 



Büschels mit A' und bezeichnen mit M' und N'die Schnittpunkte zwischen dem verbindenden 

 Grenzkreis und dem Kalottenrand. Dann ist das Doppel verhältniss 



A'M' PM' 



A'N' "PN' 



längs der Kurve invariant, so lange P den Grenzkreis a' nicht überschreitet; dann geht es in 

 j7 älter. Weiter sind der Orenzkreis PA' und der berührende Grenzkreis PA luirmonische 



Polaren in Bezug auf den Kalottenrand. 



Alle Kurven mit demselben A -Wert haben ersichtlich denselben A'-Wert. Wir wollen 

 eine Beziehung zwischen A und l' ableiten. Dabei bleiben wir bei dem Fall ^ < 0. 



Für jeden solchen Wert von l giebt es offenbar bei geeigneter Wahl von «' eine zu- 

 gehörige Kurve, die durch den Kalottenmittelpunkt geht. Lassen wir dann P mit diesem 



Punkt zusammenfallen, so ist 



AM „ A'M' 



l = - 



AN 



l' = - 



Ä'N' 



und es stehen PA und PA' auf einander senkrecht. Infolgedessen erhalten wir aus der 

 Figm' : 



cos « = 





cos « = 



1 



M' und folglich 



(i^;)^(f^;r-- 



Fig. 1. 



Dies ist die gewünsclite Beziehung zwischen X und i.'. 



Für die Kurve (T^*')2 ist nach (13) a = n{p). Setzen wir 

 a' = n (q), so wird dadurch eine neue Konstante q eingeführt, 



die offenbar der Bedingung 



(19) 



st 



n(p) + n{q) = ^ 



genügt. Diese Konstante hat eine einfache geometrische Bedeutung, die hervortritt, falls wir 



nun iuif die Eliene projizieren. Bezeichnen wir nämlich den Schnittpunkt von PA' und a' 



mit P' und setzen 



P'M' PM' 



}i" = 



P'i\''PN' 



so ist A" = — À' und infolgedessen 



cos/7(<7) = j^ 



Hieraus folgt aber, weil tg^//(^) = c *■" ist, dass 



ist. Es ist somit q die Länge der Projektion von PP'. Es geht aber bei der Projektion a' in 



Tom. XLVI. 



