über die Tracirix und die Pseudosphäre in der hr/perholischen Geometrie. 17 



eine Gerade a;2 = const. über und A'P in eine darauf senlirechte Gerade. Da nun q eine Konstante 

 ist, so folgt, dass die Tractrix {Tl''\ eine aequidistante Kurve ist, die in dem durch die Glei- 

 chimg (19) festgelegten Abstand q von einer Geraden x^ = const. läuft. Dies ist aber genau das 

 Resultat, zu dem wir in Nr. 13 durch andere Überlegungen kamen. 



21. Um in die Natur unserer Kurven tiefer einzudringen, werden wir nunmehr eine 

 Enveloppeneigenschaft der Kurven T (/) entwickeln, die dann eine entsprechende Enveloppen- 

 eigenschaft der Tractricen Tfj zu Folge hat. 



Wir knüpfen dabei an eine bekannte Eigensciiaft der zykloidalen Kurven an. Falls 

 nämlich zwei Punkte den Kalottenrand mit konstanten Geschwindigkeiten, deren Verhältniss 

 gleich — X ist, durchlaufen, so umhüllt der die Punkte verbindende Grenzkreis eine zykloidale 

 Kurve T3 (A). Jenachdem A < oder / > ist, so bewegen sich die Punkte in derselben oder 

 in entgegengesetzter Plichtung und der verbindende Grenzkreis umhüllt bezw. eine Epizykloide 

 oder eine Hypozykloide. Die Scheitel entstehen da, wo die Punkte einander passieren. Er- 

 sichtlich können wir allgemeiner sagen, dass die Seiten eines in die Kalotte eingeschriebenen 

 Rechtecks zykloidale Kurven T3 (A) umhüllen, falls die Diagonalen mit Winkelgeschwindig- 

 keiten, deren Verhältniss in jedem Augenblick gleich —X ist, um den Mittelpunkt der Ka- 

 lotte gedreht werden. Die vier entstandenen Kurven gehen offenbar aus einander durch- 

 Drehung um herum hervor und sind somit kongruent. 



Falls wir auf die Ebene projizieren, gehen die Diagonalen in zwei Geraden über, die dem 

 Büschel der Geraden a; = const. angehören. Die Seiten des Rechtecks werden auf diejenigen 

 vier Geraden abgebildet, die mit diesen beiden Geraden gleichzeitig parallel sind. Da der 

 Winkel zwischen zwei durch gehenden Grenzkreisen ungeändert in den Winkel der ent- 

 sprechenden Geraden a; = const. übergeht, sind wir somit in der Ebene, wo nur der Fall A < 

 in Betracht kommt, zu dem Resultat gekommen, dass falls zwei Geraden mit Winkelgeschwin- 

 digkeiten, deren Verhältniss gleich — X ist, um herum in derselben Richtung gedreht werden, 

 diejenigen vier Geraden, die gleichzeitig mit den beiden Geraden parallel sind, vier kongruente 

 Tractricen [T^^^^i umhüllen. Dabei sind k und X durch die Gleichung (14) mit einander ver- 

 bunden. Drehen sich die beiden Geraden in entgegengesetzter Richtung entsteht keine Ein- 

 hüllende in der Ebene. 



Wir werden nun die hiermit entwickelten Enveloppenèigenschaften in entsprechende Ei- 

 genschaften der Kurven T, {X) und (T,'"), überführen. Zuerst wollen wir dem oben entwickel- 

 ten eine andere Fassung geben. 



Wählen wir, nach der Grenzkugel zurückkehrend, einen derjenigen durch gehenden 

 Grenzkreise, die die Diagonalen bei der Umdrehung gleichzeitig überschreiten, zum Ausgangs 

 grenzkreis und bezeichnen mit w' und w" die Anomalieen der Diagonalen in Bezug auf diesen 

 Grenzkreis, %> drückt sich die Bedingung über die Winkelgeschwindigkeiten durch die Gleichung 



(2Ü) w' = -/w" 



aus. Da aber der Winkel w zweier durch gehender Grenzkreise genau gleich dem Winkel 

 der entsprechenden Geraden in der El;>ene ist, können wir, wegen der Identität zwischen den 



N:o 8. 3 



