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Severin Johansson. 



Maasszahlen in der Ebene und den Maasszahlen der Cayley'schen Maassbestimmung auf der 



Grenzkugel, schliessen, dass « = „ -log/* ist, wo fi hier, wo die Winkelspitze in dem Kalot- 



tenmittelpunkt liegt, einfach das Doppelverhältniss ist, welches die Schenkel des Winkels mit 

 den Grenzkreisen »?3 = + «53 bilden. Infolgedessen kann die Gleichung (20) in die Form 



(21) 



log /.v' =— l log 1«/' 



geschrieben werden. Falls somit die Diagonalen des Rechtecks diese Bedingung (21) erfüllen, 

 so umhüllen die Seiten vier kongruente Kurven T3 (A). 



22. Die Bedingung (21) ist aber von projektiver Natur und wir können infolgedessen 

 unmittelbar einen entsprechenden Satz über die Kurven T,' (A) aussprechen, die durch die 

 imaginäre Affinität (16) mit den Kurven T, (/) zusammenhängen. Bei dieser Affinität gehen 

 die Grenzkreise »?.i = + 2?3 in die Asj'mptoten der gleichseitigen Hyperbel S/^ — 1?/^ = ^0'' 

 über und wir können also schliessen, dass die Kurve T/ (A) von den Seiten eines in die 

 Hyperbel eingeschriebenen Parallelograms umhüllt wird, dessen Diagonalen der Bedingung 

 (21) genügen, wo diesmal fi' und i^" diejenigen Doppelverhältnisse sind, welche die Diago- 

 nalen mit den Asymptoten und einem beliebigen, festen Ausgangsdiameter der Hyperbel bil- 

 den. Offenbar besteht die so entstandene Kurve aus vier Zweigen, von denen zwei innerhalb 

 und zwei ausserhalb der Hyperbel liegen. Die innerhalb der Hyperbel liegenden Zweige wer- 

 den von Parallelogramseiten umhüllt, die Punkte desselben Hyperbelzweiges oder verschiede- 

 ner Zweige vereinigen, jenachdem A < oder Â > ist. 



Gehen wir nunmehr durch Vermittelung der reellen Projektivität (15) von den Kurven 

 Ti' (A) zu den Kurven T, (A) über, so bemerken wir, dass das Diameterbüschel der Hyperbel 

 in die Grenzkreise §i = const. übergeht, wobei insbesondere die Asymptoten auf die Grenz- 

 kreise ?i = + ^o abgebildet werden. Es gehen somit die Diagonalen des PcU-allelograms in 

 zwei derartige Grenzkreise $i = const. über und es entsteht aus dem Paralielogram ein Vier- 

 eck von der Gestalt des Vierecks M'N"N'M" (Fig. 2), dessen 

 gegenüberliegende Seiten sich auf der ^'j-Achse schneiden. Wir 

 können dann schliessen, dass jede Kurve T, (/) von den Seiten 

 eines derartigei? Vierecks umhüllt wird, falls die Diagonalen 

 der Bedingung (21) genügen, wo diesmal ,«' und fi" die Dop- 

 pelverhältnisse sind, welche die Diagonalen mit den Grenzkrei- 

 sen ?i = ii:'^o und einem beliebigen zwischen diesen hegenden 

 festen Ausgangsgrenzkreis ïi = eonst. bilden Ist A <0, werden 

 die innerhalb der Kalotte liegenden Zweige von den Seiten M'M" 

 und N'N" umhüllt, während sie für />0 von den Seiten M'N" und M "N' umhüllt werden. 

 Diese Zweige bilden dann die Kurve (Tj'''')i . Lassen wir den festen Ausgangsgrenzkreis von — ^,, 

 bis -\-k(, wandern, erhalten wir alle zu demselben Wert von A gehörenden Kurven T, (A) und 

 die entsprechenden Kurven (T^'*Oi- 



Offenbar sind nun (i' und /*" einfach die Doppelverhältnisse, die bezw. G' und C" mit 

 M, N und dem Schnittpunkt zwischen dem Ausgangsgrenzkreis und der ?i-Achse l)ilden. Las.sen 



Tom. XLVI. 



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