über die Traetrix und die Pseudosphäre in der hyperbolischen Oeometrie. 19 



wir diesen insbesondere mit der lyrAchse zusammenfallen, so sind ^' und (j" die Doppelver- 

 hältnisse der Punkte M, 0, C, N und M, 0, C", N. 



23. Wir projizieren nunmehr auf die Ebene, woliei nach der Verabredung in Nr. 18 die 

 Koordinatenachsen auf der Grenzkugel in die Koordinatenachsen in der Ebene übergehen, und 

 bezeichnen mit .r,' und x'/' die Abszissen von C" und C", den Projektionen von (" und ('". 

 Es werden dann die Diagonalen auf die Geraden iCi=x,'und x, ^a,-/' abgebildet und die 

 Seiten des Vierecks gehen in û\e vier gemeinsamen Parallelen dieser Geraden über. 



Lassen wir nun insbesondere wie oben den Ausgangsgrenzkreis mit der »?, -Achse zu- 

 sammenfallen, so ist offenbar wegen der Identität der Maasszalilen in der Ei)ene und der 

 Cayley'sche Maasszahlen auf der Grenzkugel 



x,' = |log^', V = |log/*". 



Die Bedingung (21) nimmt infolgedessen die Form 



(22) Xi' = -XXi" 



an. Diese Gleichung besagt aber, dass die Geraden Xi = Xi' und x, = x" mit Geschwindigkeiten, 

 deren Verhältniss gleich — l ist, sich längs der x^-Achse beivegen. Dabei umhüllen jedesmal zwei ih- 

 rer gemeinsamen Parallelen, die nicht mit einander parallel sind, eine Traetrix (T^.^ )i, ivohei k und 

 X durch die Gleichung (14) verbunden sind, während die beiden anderen keine Einhüllende in 

 der Ebene haben. Ist A>0 oder bewegen sich somit die Geraden in entgegengesetzter Rich- 

 tung, umhüllen diejenigen gemeinsamen Parallelen, die sich auf der x'i-Achse schneiden, eine 

 Traetrix (r^!*')!, die durch ä; < Z;« charakterisiert ist; ist A<0 oder bewegen sich die Geraden 

 in derselben Richtung, wird von den beiden anderen gemeinsamen Parallelen eine Traetrix 

 (r/*'')i umhüllt, für welche ^>fco ist. Offenbar wird die y-Achse gleichzeitig von den be- 

 weglichen Geraden durchsetzt. Sie ist die vertikale Symmetriegerade der Traetrix. 



Wählen wir auf der Grenzkugel statt der i^i-Achse einen anderen Ausgangsgrenzkreis, 

 kommen wir zu demselben Resultat; nur wird die Rolle der î/i-Achse von dem Abbild des 

 Ausgangsgrenzkreises übernommen. Die entstandene Traetrix ist mit der obigen kongruent. 



21. Offenbar können wir die hiermit in dem Vorigen abgeleiteten Resultate durch fol- 



li + h 

 genden allgemeinen Satz kurz ausdrücken, indem nämlich nach (14)— A=t — jt '^t. 



Die Traetrix Tj wird von gemeinsamen Parallelen zweier Geraden umhüllt, die mit Ge- 

 schwindigkeiten, deren Verhältniss gleich j_ — ~ ist, das Sfrahlenbüschel x='const. durchwandern. 



Dieser Satz gilt auch in dem zweiten Fall, der übrigens als ein Übergangsfall anzuse- 

 hen ist. Wir kommen auf den Satz in der folgenden Abteilung zurück. 



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