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Severin Johansson. 



Integration der Differentialgleichungen. 



25. Die Integration der Differentialgleiohungen (5'), (5") und (5'") lässt sich einfach 

 elementar durchführen. Wir hemerken dabei vorläutig, dass die Gleichungen (5') und (5'") in 

 einander durch die imaginäre Transformation 



a?! — k^t x^, Z/i + J/a — "-o 



JTl 



übergehen. Dies entspricht den in Nr. 18 durchgeführten Überlegungen und führt, falls wir 

 die Koordinaten Ï und tj auf der Grenzkugei eintragen, zu der imaginären Projektivität (17), 

 wie man unschwer bestätigen kann. 



Wir fangen mit dem ersten Fall an und setzen, indem wir die Indizes weglassen, 



(23) t = k„coaIJ{y). 



Dadurch nimmt die Differentialgleichung (5') die Form an 



(24) 



dx kg }/k^ - P 



dt 



Hieraus erhalten wir nun unmittelbar für Ic < ä-q 



(2b) x-xo = ^k\og %- ■ " , - n fco log . — =-- y 



■^ ll/ki^-t^-k^yk-t-t^ ^ yko^-t^-yk^-t^ 



und für k > fco 



m .-.,= ■ i log ^E±tl j^ _ u, i„^ y^^' + Vk^ . 



^ kol/k^-t^-kj/k^^-t^ ^ yk^-f^-yko^-t^ 



Hier bedeutet beidemal x^ die Integrationskonstante. 



Aus diesen Gleichungen können wir nun unmittelbar ablesen, dass die Kurve (yj.*')i b^i- 

 demal aus vier Ästen besteht, die symmetrisch in Bezug auf die a;-Achse und die Gerade 

 x:=^Xq hegen. Die x- Achse ist eine Asymptote. Für fc<fco vereinigen sich die Äste zu 

 Spitzen, die in dem durch die Gleichung (7) bestimmten Abstand r von der a:-Achse auf der 

 Geraden x = Xo hegen. Für fc > fco wächst \y\ gegen die Unendlichkeit, falls \x — Xt\ gegen 

 Null herabsinkt. Die Gerade x = Xo ist jedoch keine Asymptote, wie wir jetzt zeigen wollen. 



Wir betrachten deshalb den Ast x'^Xf,, y > und bezeichnen mit q' den Abstand des 

 Kurvenpunkts {x, y) von der Geraden x = x^. Dann ist in dem von dieser Geraden, x, y und q' 



cot Jl (x — x^) 



gebildeten dreirechtwinkligen Viereck cot n{q') 

 Form schreiben 



cot n(q'): 



cot IJ (x ■ 



sin n{ij) 



■ ^o) -^ '''0 



welche Gleichung wir in die 



•Xy ^~ UC(\ 



sin tJ Uj) 



Der erste Faktor hat dann unmittelbar , zur Grenze für x^Xo. 



In dem zweiten Faktor 



Tom. XLVI. 



