über die Tradrix und die Pseudosphäre in der hijperholischen Geometrie. 



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führen wir auf Grund von (23) und (26) t als Veränderliche ein. Sein Grenzwert für t = fc» 

 d. h. für x = Xç, ist dann, wie man unschwer bestätigt, h^ë^iP), wo p die durch die Gleich- 

 ung (8) eingeführte Grösse ist. Bezeichnen wir also den Grenzwert von q' für x=^Xa mit q, 

 so ist cot n (q) = tg // (p) oder 



(27) 



n{p) + n{q)=.^. 



Es nähert sich somit die Kurve denjenigen beiden aequidistanten Kurven asymptotisch, die in 



dem durch die Gleichung (27) bestimmten Abstand q von der Geraden x = x-o laufen, q ist 



offenbar mit h durch die Gleichung 



(28) ]c=.-J^ 



^ ' sm n (q) 



vereinigt. 



Den Fall Jc = lco haben wir schon in Nr. 10 erledigt. Er ist dabei als Übergangsfall 



zwischen den beiden obigen anzusehen. 



26. Wir werden nunmehr uns den hiermit gewonnenen expliziten Gleichungen der 

 Kurven (r^**)i einige einfache Resultate ableiten. 



Wir betrachten zuerst den Fall k<_k„ und schreiben die Gleichung (25) in die Form 



(29) 

 wo also 



x = Xo — 'k\ogXi + kn log x^, 



^■-V\ 



kj/k^-t^-k^j/k^-t^ 



'~V VkT- 



t-^ - yk^ 



<2 



k}/k,-i-t^+k,}/ki-t^' "^ y Vko^-P + ]/k^-t^ 

 jesetzt sind. Dann sehen wir unmittelbar, dass wir Xi und x.^ in die Form schreiben können 



■^1 = tg w Vi , 



wo ^1 und (/2 durch die Gleichungen 



ko Vk^ - 1^ 



cos (fl 



k j/h^^-t^ 

 festgelegt sind. Dabei ist offenbar 



^2 = fcg-2 ^2, 



l/k^ -t^ 



cos q>2 = . = 



VkJ^ - 1^ 



(30) 



cos <fi = y cos ^2- 



Es haben nun die Winkel <f, und ^2 äusserst einfache geometrische Bedeutungen. In 

 dem vorliegenden Fall schneidet nämlich die Tangente in dem Kurvenpunkt P die x- Achse in 

 einem Funkt A und es ist PA konstant gleich r (vgl. Nr 15). Bezeichnen wir nun den 

 Neigungswinkel zwischen der Tangente und der ccAchse mit « und die Projektion P'A von 

 PA auf der x-Achse mit r', so bestehen die Gleichungen 



(31) 



^1=.«, 



V2 =//(/•'). 



Dabei halten wir uns zu dem Ast x'^x^, y > 0. 



N:o 8. 



