22 Severin Johansson. 



cos Ti (y ') 



liiing cos a = rrr^' Tragen wir hier A; = A-» cos // (c) ein, entsteht die zu (30) analoge 



cos IJ (;■) , 



Bei dem Beweis erhalten wir zuerst aus dem rechtwinkligen Dreieck PP'A die Bezie 

 cos ( 

 Gleichung 



(32) cos « = 1" cos //(>•'). 



Aus demselben Dieieck ist aber weiter sin W (/•') = - — rrr.' Führen wir hier t aus der 



sin 77 (2/) 



Gleichung (23) ein und berechnen cos /7 (»■'), so wird 



„, ,, Vk^ -^2 



cos 77 {)■ ') = '_■ ■ 



KV - 1^ 



Es ist somit (f^ = il (r'). Aus (30) und (32) schliessen wir dann aber, dass f/'i = a ist. 



Auf Grund der hiermit bewiesenen Beziehungen (31) geht die Gleichung (29) in die fol- 

 gende über 



a; = a;o - ^ log tg -g « + ^0 log tg 2 7/ (r'). 



Da aber tg -^- ll(r') = e *'° ist, so erhalten wir 



a; — Xo + r' = — Ä; log tg — a. 



Hier bedeutet die linke Seite einfach den Abstand von dem Durchschnittspunkt A zwischen 

 der Tangente und der x'-Achse bis zu dem Punkt ;r.„, wo die Symmetrieachse die ;f-Achse 

 schneidet. Bezeichnen wir diesen Abstand mit A", .so ist somit nach der letzten Gleichung 



_ .V 



(33) tg 2 « = e *' . 



Es hcängt somit der Neigungswinkel der Tangente in genau gleicher Weise von A' ab, wie 

 der zu einer Strecke in dem hyperboUschen Raum R^ gehörende Parallelwinkel von dieser 

 Strecke abhängt. 



Mit Hilfe der hiermit entwickelten Formel (33) können wir nun die in Nr. 24 ausge- 

 sprochene Enveloppeneigenschaft neu beweisen. Wir lassen dabei der Einfachkeit halber die ver- 

 tikale Symmetriegerade mit der ?/- Achse zusammenfallen, Indem wir a^o = setzen. Es ist 

 dann X die Abszisse des Durchschnittspunkts zwischen der Tangente und der x--Achse. 



Ziehen wir nun diejenigen beiden Geraden x = const., die mit der Tangente parallel sind, 

 so liegen sie ersichtlich zu der Geraden x = X symmetrisch. Bezeichnen wir das von ihnen 

 auf der a;-Achse abgegrenzte Stück mit 2 t, so ist offenbar 



und infolgedessen auf Cîrund von (33) 



77 (t) = « 



"-0 V 



Tom. XLVl. 



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