über die Tmctrix und die Pseiidosphäre in der hijperholischen Geometrie. 23 



Hieraus folgt, dass die beiden genannten mit der Tangente parallelen Geraden a; = const. ein- 

 fach die Geraden 

 (34) a;=z(l4:|») 



sind. 



Lassen wir nun den Punkt X die .r-Achse durchlaufen, so sehen wir unmittelbar ein, 



Je -L Je 



dass die Geraden (34) mit Geschwindigkeiten, deren Verhältniss konstant gleich r — r ist, 



das Strahlenbüschel a; = const. durchwandern. Weil ^ < ^u ist, so bewegen sie sich in ver- 

 schiedener Richtung. Die vertikale Syninietriegeratle wird von beiden gleichzeitig passiert. 

 Hiermit ist die in Nr. 24 ausgesprochene Enveloppeneigenschaft der Kurve T^'*' in 

 dem vorliegenden Fall bewiesen. Denn das oben für den Ast x>Xo, y>0 entwickelte Er- 

 gebniss gilt natürlich für die ganze Kurve. 



27. Wir gellen jetzt zu dem Fall ^•>Z-„ über und schreiben hier wieder die Gleichung 

 (2H) in die Form 



(:{;■)) x = x„ — k log .x-i + l\, log Xo 



wo ' 



v ka V^"^ -fi + i Vi,-' -W ' v y k"- - f 



t^ - Vk^^ - f' 



Offenbar können wir wieder Xi und r.^ in die Form schreiben 



^i = tg 2 (pi, a;2 = tg — ^2, 



wo 



k}/k,^-t^ ]/ko^-t^ 



cos y, = -^~-^^= , cosy>2 = -7==- 

 hyk^ -t^ yk^ -t^ 



Dabei ist ersichtlich 



k 



(36) cosyi = , cos^a- 



Die Winkel (pi und ^2 haben auch in diesem Fall einfache geometrische Bedeutungen. 

 Es steht diesmal die Tangente im Kur venpunkt P auf einer Geraden a; = const. senkrecht 

 Wird der Fusspunkt mit B bezeichnet, so ist PB konstant gleich p (vgl. Nr. \b). Wir bezeich- 

 nen die Projektion F'B' von PB auf der x-Achse mit p' und BB' mit a. Weiter setzen wir 



(37) « = |-/7(fl). 



Dann wird behauptet, dass die Gleichungen 



(88) Vi = «, V'i = n{p') 



bestehen. Dabei wird wieder der Ast .''■>.ro, // > betrachtet. 



N:o 8. 



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