24 Severin Johansson. 



Bei dem Beweis benützen wir das dreireclitwinklige Viereck PBB'P' und erhalten hier- 



cos/7(m') ifc 



aus zuerst sin /Z (a) = .., .- oder falls wir k = ^z-r-^ und « aus (37) eintragen 



cos 11 {p) cos n{])) ^ ' " 



(39) cosa = ^cos/7(jö'). 



In demselben Viereck ist weiter cot Il{p') = sin ri{y) . cot /7 (^)) und infolgedessen, falls wir y aus 

 (23) einführen und cos II {p') berechnen, 



cos/7(p') = ^låU=L. . 



Es ist somit (f2 = n{p') und also nach (36) und (39) (pi = a. 



Bezeichnen wir diesmal den Abstand zwischen B' und dem Punkt .To mit X, so kön- 

 nen wir aus dem eben bewiesenen genau wie in Nr. 26 schliessen, dass 



_x 



(40) tg2« = e 



ist. Setzen wir insbesondere a'o = oder lassen also die vertikale Symmetriegerade der 

 Kurve mit der »/-Achse zusammenfallen, so ist X die Abszisse desjenigen Punkts, in dem die 

 auf der Tangente senkrechte Gerade a; = const. die Z-Achse schneidet. 



Wir betrachten hier wiederum diejenigen beiden Geraden a; = const., die mit der Tangente 

 parallel sind. Sie liegen zu der Geraden x=:X symmetrisch. Bezeichnen wir mit 2 t das von 



St 



den beiden Geraden auf der a;- Achse abgegrenzte Stück, so ist offenbar // (t) + /7 (a) = -^ 



und infolgedessen nach (37) 



/7(T) = a. 



Hieraus folgt nun wieder auf Grund von (40), dass 



ist. Dies besagt aber, dass die genannten mit der Tangente parallelen Geraden rc = const 

 einfach die Geraden 



(41) ^ = ^(l + lj 



sind und wir können somit genau dieselben Schlüsse ziehen wie in Nr. 26. Hier ist aber 

 fc > Ä;« und es bewegen sich somit die beiden Geraden (41) nach derselben Richtung. Hier- 

 mit ist der in Nr. 24 ausgesprochene Satz auch in dem vorliegenden Fall neu bewiesen. 



28. Wir gehen jetzt zu der Gleichung (5"). Hier erhalten wir durch Integration als 

 explizite Gleichung der Kurve (7^1*% 



!/ 



(42) x = Xo + hy l\-^e *■", 



wo wir wiederum die Indizes weggelassen haben, x^ ist die Integrationskonstante. 



Tom. XLVJ. 



