über die Tractrix und die Pseudosphäre in der hyperholisehen Geometrie. 25 



Aus dieser Gleichung folgt nun unmittelbar, dass die Kurve {tI''^)2 eine aequidistante 

 Kurve ist, wie wir schon öfters fanden. Ziehen wir nämlich durch den Kurvenpunkt (x, y) 



einen Grenzkreis 2/ = const., so ist auf diesem dera; — rc« entspreciiende Bogen gleich {x — x„)e ° 

 und somit nach der Gleichung (42) konstant gleich Jc^ y t. 2"" ^- Hieraus folgt, dass die Kurve 



aequidistant von der Geraden x-^Xj, verläuft. Bezeichnen wir ihren Abstand von dieser 



1/ k^ 

 Geraden, mit q, so ist 2 q offenbar die zu dem Bogen 2 hl/ tt^ ~ 1 gehörende Sehne und es 



' "-d 



i/k"^ Je 



ist somit cot n{q) = l/ , „ — 1 oder k = -. — ^^-^i wie wir schon in Nr. 13 fanden. 

 r k^^ sm n (q) 



Die Tangente in dem Punkt P auf der Kurve steht auf einer Geraden a; = const. senkrecht. 

 Wird der Fusspunkt mit B bezeicimet, so ist PB konstant gleich p (vgl. Nr. 15). Bezeichnen 

 wir den Abstand von B zu der Geraden x = x„ mit q, so i)ildet () mit den Strecken p und q und 

 der Geraden x = x„ ein dreirechtwinkliges Viereck, wo der zwischen p und q liegende spitze 



Winkel ^-/7(e) ist. Infolgedessen ist cot n (q) = ^—-j— oder also, weil ^ = ^^^J^^^ ist, 



(43) ko cot n{Q) = k. 



Diese Gleichung besagt, dass der Urt von B eine ae<inidistante Kurve zu der Geraden 'JC = Xa 

 ist. Weiter schliessen wir aber aus (43), dass diese Kurve und die Gerade x = x^, von jeder 

 Kurve y = const. das Stuck k abgrenzen. 



Dies vorausgeschickt beweisen wir nun wieder die in Nr. 24 ausgesprochene p]nvelop- 

 peneigenschaft. Dabei setzen wir der Einfachkeit hall)er x„~0. Es sei dann x =^ X diejenige 

 Gerade rc = const., die durch B geht und die somit auf der Tangeute senkrecht steht. Be- 

 trachten wir dann diejenigen beiden Geraden a; = const., die mit der Tangente parallel .sind, so 

 sind die.se ersichtlich in Bezug auf die Gerade x = X symmetrisch. 



Wir liezeichnen nunmehr mit 2 t das von den beiden genannten Geraden auf dem Grenz- 

 kreis j/ = abgegrenzte Stück. Ziehen wir weiter durch B den durch diesen Punkt gehenden 

 Grenzkreis y = const., so grenzen die beiden Geraden auf diesem Grenzkreis ersichtlich das 

 Stück 2A'|, ab. Infolgedessen sind dann A' und k, r und À„ entsprechende Bögen konzentrischer 

 Grenzkreise und es ist somit 



Hieraus folgt, dass die mit der Tangente parallelen Geraden .t = const. einfach die Geraden 



(44) aî = z(iqi|) 



sind. Hieraus schliessen wir wieder genau wie in Nr. 26, dass auch in dem vorliegenden 

 Fall die Behauptung in Nr. 24 richtig ist. Weil k > kg ist, so bewegen sich die beiden Ge- 

 raden in dersellien Richtung. 



N:o 8. 



