26 Severin Johansson. 



29. Wir gellen schliesslich zu der Differentialgleichung (5'") über. Setzen wir hier 

 (45) koC.oün(y) = t 



und lassen die Indizes weg, erhalten wir die Gleichung 





dx 1 T/h^f^-U* 



dt kotr h? - 1\ 



Hier sind t und x offenbar polare Koordinaten auf derjenigen Grenzkugel, die die Ebene im 

 Zentrum des Büschels a: = const. berührt. Es ist dann eine Bestätigung der in Nr. 17 ge- 

 fundenen Resultate, dass die Gleichung (46) einfach die bekannte polare Differentialgleichung 

 der zykloidalen Kurven ist. 



Der Vollständigkeit halber führen wir auch hier die Integration aus und erhalten fol- 

 gende explizite Gleichung der Kurve (^j/'ls, wo x^ die Integrationskonstante bedeutet: 



Aus dieser können wir wieder alle in Nr. 17 gefundenen Resultate bestätigen. Insbesondere 

 sehen wir, dass die Kurve aus endlich oder unendlich vielen Zweigen besteht, die durch Dre- 

 hungen mit der Amplitude (r — iW nm herum aus einander hervorgehen. Da a;==a;oeine 



Spitzentangente ist, können wir uns auf den von dieser Spitze auslaufenden Zweig einschrän- 

 ken und bemerken dann, dass diesei' Zweig aus zwei in Bezug auf die Gerade x = x^ symme- 

 trischen Ästen besteht. Falls x von x^ zu den Werten ''»o + It. "Ijo^ ^i^'i verändert, so 

 wächst y von p nach der Unendlichkeit. 



30. Wir schreiben nunmehr die Gleichung (47) in die Form 



(48) x = x„^^Xi-x.i, 



wo also 



1 ^/h^f^-K' . 1 i/JcU^-k,* 



Dabei ist ersichtlich 



(49) tga;a = |^tga;, , 



"-O 



Es haben hier wieder ,.c, und x^ eine einfache Bedeutung. In diesem Fall steht nämlich wie- 

 der die Tangente in dem Kurvenpnnkt P auf einer Geraden aj = const. senkrecht. Wird der 

 Fusspunkt mit B bezeichnet, so ist PB konstant gleich i> (vgl. Nr. 15). Setzen wir nun OB = a 

 und den Winkel POB = x', so wird behauptet, dass die Gleichungen 



(5U) x, = I - /7 (a) , x-i ^ g - ^' 



bestehen. Dabei wird der Ast x'^x» betrachtet. 



Tora. XL VI. 



