IWer die Tractrix und die Pseudosphäre in der hyperbolischen Geometrie. 27 



Bei dem Beweis benutzen wir das rechtwinklige Dreieck OBP und erhalten hieraus 



, , cot //(a) - . ,, . , ^0 



cota; = „ -'- , oder, falls wn- k = ^^^ eintragen, 



cos n (p) ' cos n{p) " ' 



Je 

 (51) cotx' = T-cot //(a). 



"-0 



In demselben Dreieck ist alier weiter sin // (a) = ^!"-— P^4 • Falls wir hier f aus (45) eintra- 



sm J/{p) ' 



gen und cot // (a) Iterechnen, so erhalten wir 



"«.)=i/' 



cotff(a) = f// -;^^'. 



Es ist also ,x-, = --—// (a) und infolgedessen nach (49) und (51) auch a^a = %—x'- 

 Mit Hilfe der Gleichungen (50) nimmt nun die Cileichimg (48) die Form an 



Hieraus erhalten wir ilie Formel 



(52) /7(a) = -*"X, 



wo X = .r-.To-(^ ~0f "^' gesetzt ist. Offenbar ist dann | A" j der Winkel, den die Ge- 

 rade OB mit der Geraden ,x = ,To + (t7— \\ bildet. Wählen wir also die letzte Gerade zum 

 Ausgangsstrahl bei der Koordinatenbestimmung, was darauf hinauskommt, dass wir die Inte- 

 rationskonstante ^«^~\v ~^\^ setzen, so wird A' einfach der Azimuth der Geraden OB 



gl' 



und es stellt somit 



x^X 



diejenige Gerade a;=const. dar, die auf der Tangente senkrecht steht. 



Aus diesen Überlegungen folgt nun wieder die Enveloppeneigenschaft in dem vorliegen- 

 den Fall. Ziehen wir nämlich diejenigen Geraden x — const., die mit der Tangente parallel 

 sind, so bilden diese mit der genannten Geraden x = X den Winkel /7(a). Nach (52) haben 

 dann diese Geraden die Gleichungen 



(53) - = ^'(l+l} 



Hieraus folgt genau wie in den ül)rigen Fällen die Enveloppeneigenschaft. Weil ä: > ä:^ ist, 

 so bewegen sich die beiden Geraden in derselben Richtung. 



31. Hiermit ist die Untersuchung der Tractrix zu Ende geführt. Abschliessend wollen 

 wir nur noch hervorheben, dass für ä:u = oo oder also in dem Euklid'schen Raum die Kurve 

 (T^*')i die gewöhnliche Tractrix ist. Durch einfachen Grenzübergang finden wir dann aus der 

 Formel A; = ^^ cos // (r), dass lt=^r ist. Die Kurve {T''^\ ist eine mit der a;-Achse parallele 

 Gerade. Für die ülirigen Kurven können wir sagen, dass {T^^\ eine Gerade und (T^"')^ ein 

 Kreis ist. 



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